測量坐標系誤差補償及齒面位置匹配：為了便于描述，本文將設計坐標系下 9×5 的理論點 Pt( ri，zj )及法矢 nt( ri，zj )簡寫為 Pij和 Nij，對應的測量數據為 Qij；其中 i=1，…，9；j=1，…，5。
根據文中第2節敘述的迭代方法，以|Rk-Rt|≤ ε 為條件退出迭代過程，較為準確地尋找到了實際齒面在半徑 R 處的點作為 Xm方向的定位基準，從而降低了測量坐標系建立過程中的偶然性。此時如果齒面完全理想，那么結束迭代時，在 Sk坐標系下，網格中心點的角度值 βk應該非常接近 0；然而在實際測量過程中發現，在齒面半徑為 R，高度為 Z 處的點(實際齒面網格中心)由于制造誤差的存在，其角度測量值 βk與 0 之間有一定差距。這一現象表明，以該點為角向定位基準建立的測量坐標系包含了該點的制造誤差，從而體現在測量值 βk上，因此在面齒輪測量坐標系平面和軸向定位準確的情況下，可以認為測量坐標系與設計坐標系之間存在繞 Zm的角度偏轉，并且該角度接近 βk。如圖 8(a)所示，其中 Sd為設計坐標系，Sk為最終建立的測量坐標系。
圖 8 測量數據與理論數據之間的關系
為了減小測量坐標系與設計坐標系不重合帶來的測量誤差，提取測量網格中心點 Q53 柱坐標 (Rk，βk，Zk )中的角度坐標 βk，將理論網格 Pij與法向量 Nij繞 Zk軸旋轉 βk角度轉換為新的理論網格 Pij' 及法矢 Nij' ，從而將理論數據和測量數據統一到同一坐標系下，如圖 8(b)所示。以旋轉后的網格作為評價齒形誤差的新理論網格。Pij ' 、Nij ' 可由式 (16)、式(17)求得
通過旋轉理論網格的位置，補償了由于測量基準制造誤差而引起的測量坐標系誤差。對于整個測量網格 Qij而言，所有點都是在有誤差的測量坐標系下測量的，雖然都在實際齒面上，然而這些點由于測量坐標系偏差會與理論齒面測量區域之間存在一定的扭轉錯位，如圖 9 所示。為提高測量結果的可靠度，在利用測量點得出誤差數據之前，應將測量網格與理論網格進行位置匹配。而該策略的基本要求是應避免測量數據失真，能反映最真實的齒面誤差。因此測量數據匹配的任務可以表示為：給定參考點陣(理論齒面)Pij ' 和待匹配的測量點陣 Qij，假定兩點陣已經非常接近，求 Qij的一個變換 Qij' ，使得 Q ij' 與 Qij 最大程度地重合。本文采用兩點陣各點之間的法向距離平方和作為評判重合度大小的依據。
圖 9 曲面位置匹配
假設待匹配的測量點陣 Qij與匹配后點陣 Q'ij 的位置關系用 3 個平移量 x、y、z 以及繞 Z 軸和 X 軸的兩個旋轉量 φ、θ 來表示，變換后的測量數據 Q'ij經位置匹配后的坐標由式(18)確定。
其中
為此構造目標函數
其中
考察目標函數(式(22))中的 5 個優化變量，運用本文第 2 節描述的方法建立測量坐標系的過程中，保證了測量點陣與理論點陣之間的 3 個偏移量 x、y、z 在一個接近 0 的微小區間內，事實上針對式(22)中 5 個變量進行無約束優化模型求解時，得到的結果在數學上雖為全局最優，但沒有反映齒面真實的情況，詳細討論見實驗部分。
結合實際，為了不使測量點失真，對 3 個偏移量 x、y、z 施加如下約束：
式(24)中，偏移量 x、y 的上下邊界可由面齒輪齒坯的同軸度公差確定，偏移量 z 的上下邊界可由齒頂平面度公差確定。目標函數(式(22))另外兩個參數 φ、θ0的約束條件為
利用優化算法求解滿足條件的最優解 φ* 、θ* 、 x* 、y* 、z * ，將其代入到式(18)，獲得位置匹配后的測量點陣 Q'ij。
實測點誤差補償：如圖 10 所示，使用三坐標測量機進行測量時，給定的測量指令是測針沿 P' 的法矢 N ' 方向去觸測實際齒面，由于加工誤差導致待測點附近的曲率變化較大以及測球半徑的影響，測球在沿理論點法矢 N' 移動的過程中，往往未到達指定位置 Q" 時就已經觸測到 Q' ，這導致實際測量點 Q' 沒有在理論點 P' 的法向上，此時測頭顯示的示值為 Q' 點相關的坐標信息，從而產生測量偏差 εm，使得測量結果不能真實地反映齒面誤差規律，繼而影響齒面后續的加工反調等工藝。
圖 10 測量誤差示意圖
為盡可能地避免制造誤差引起的測量偏差 εm，本研究將測量網格重構成 NURBS(non ‐ uni‐ form rational B ‐splines)曲面，采用相關的優化算法在該曲面上尋找 P' 對應的理想的測量點 Q" 的坐標，具體步驟如下。
1)將位置匹配后的測量點陣 Q'ij 擬合成 NURBS 曲面 Rm(u，v)，其中 u、v 為齒寬和齒高兩個方向上的參數。每一個有序數對(i，j)對應一組(ui，vj )。
2)對于理論齒面上的某一點 P'ij ，構造優化目標如下：
運用優化算法，以(ui，vj )為初值在曲面 Rm ( u，v ) 上搜索 Q"ij 對應的參數(u*i，v*j )，故點 Q"ij 可表示成如下形式：
3)將補償后的測量點 Q"ij與對應的理論點 P'ij比較獲得齒面偏差
四、測量實驗
實驗設備及對象：實驗采用裝有 SP600M 線性測頭的海克斯康 STATUS575 型的三坐標測量機(如圖 11 所示)以及克林貝格 P65 的齒輪測量中心(如圖 12 所示);結合通用測量軟件 PC ‐DIMS 和專用測量軟件QUINDOS 對齒面進行測量。測量對象為 6 級精度(參照錐齒輪標準 GB11365‐2019)的直齒面齒輪。
實驗方法及測量結果：為驗證本文所提出方法的合理性，設計實驗步驟如下：
1)基于三坐標測量機結合通用測量軟件 PC‐DMIS，分別采用常規方法和本文方法建立測量坐標系對同一齒面進行測量，分別獲得采用常規方法建立的坐標系下的原始坐標數據和采用本文方法建立的坐標系下的原始坐標數據，結果如圖 13 所示。
圖 13 齒面 1 測量結果(單位：μm)
2)將常規方法獲得的原始坐標數據與理論坐標數據對比獲得法向偏差，結果如圖13(a)所示;將本方法獲得的原始坐標數據采用本文提出的補償方法，獲得齒面偏差如圖 13(c)所示。
3)針對本文第 3.1 節中討論的無約束優化模型，本文做了 1 組對比實驗，即將本文方法中的位置匹配參數約束條件(式(24))更改為實數范圍，其余保持不變，所得測量結果如圖 13(b)所示。
4)最后，為了驗證本文測量方法是否有效，基于齒輪測量中心結合專用測量軟件 QUIN ‐ DOS 對該齒面進行第 3 次測量，獲得結果如圖13(d)所示，將該結果作為檢驗本文方法是否有效的標準。
5)為了避免偶然性，本實驗針對兩組不同的齒面進行了上述測量操作，所得齒面 2 測量結果如圖 14 所示。
圖 14 齒面 2 測量結果(單位：μm)
實驗結果分析：將基于三坐標測量機的不同測量方法獲得的 3 組齒面測量結果與齒輪測量中心獲得的結果對比，獲得表 1、表 2 所示的統計數據，包括：
1)三坐標測量結果與齒輪測量中心結果對應點之間的最大測量偏差值。
2)三坐標測量結果與齒輪測量中心結果 9× 5 個點的相對偏差平方和。
3)三坐標測量結果以及齒輪測量中心結果的絕對誤差平方和。
4)本文方法建立的測量坐標系與齒輪測量中心測量坐標系之間的位置誤差。
對應點之間的最大測量偏差是從單個點的層面反映不同方法的測量結果之間的吻合性。據表 1、表 2 可知，本文方法相比于常規方法和無約束優化方法該項結果均為最小。從單個點的測量偏差層面驗證了本文提出的誤差補償方法能有效地減小測量偏差。
相對偏差平方和反映的是不同方法的測量結果之間的整體吻合程度。據表 1、表 2 可知，本文方法所得測量結果與齒輪測量中心結果之間的相對偏差平方和小于無約束優化方法和常規方法，這表明就整體測量結果而言，本文提出的三坐標測量方法獲得的測量結果更接近真實齒面。
分析本文方法與常規方法所得到的誤差曲面的趨勢發現，由于常規方法建立測量坐標系時難以確定角向定位基準，建立的測量坐標系與設計坐標系之間存在較大誤差(3 個位移誤差 x* 、y* 、z * )，使得測量所得齒面(圖 13(a)和圖 14(a))呈現出繞齒寬方向的扭轉趨勢較為明顯;而本文基于迭代思想建立測量坐標系，并采用合理的誤差補償方法獲得的齒面與真實齒面的趨勢較為一致，這一結果表明，測量坐標系建立得準確與否，會直接影響測量結果的可靠性。
針對文中第 3.1 節中討論的無約束優化模型對測量齒面與理論齒面進行位置匹配，根據表 1、表 2 數據，該補償方法測量結果的絕對誤差平方和雖小于本文方法測量數據的絕對誤差平方和，但是其與齒輪測量中心所得的測量結果之間的相對偏差平方和要大于本文方法與齒輪測量中心結果之間的相對偏差平方和，從而驗證了無約束優化模型得到的解在數學上雖為最優(即齒面誤差數值上最小)，但是不一定能反映齒面的真實情況。
五、結論
1)提出了一種考慮齒坯端面和外圓公差來確定測量坐標系原點和 Z 軸、以待測網格中心為基準迭代確定 X 軸的測量坐標系建立方法，相比于常規的測量方法，該方法能有效地減小測量坐標系的位置誤差。
2)根據測量坐標系建立的原理，通過約束測量坐標系與設計坐標系之間關系的數學模型來補償測量坐標系誤差;利用實測點的位置信息，構造優化模型，尋找與待測點相匹配的實際齒面點的方式補償加工誤差帶來的測量誤差，獲得的測量結果更接近真實齒面。
參考文獻略.