航空齒輪等高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，由于軸、軸承、殼體和齒輪等受載變形以及零部件制造和裝配誤差，易造成齒輪嚙合錯(cuò)位即齒輪不對(duì)中，根據(jù)國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)統(tǒng)計(jì)，由于齒輪錯(cuò)位即不對(duì)中所引起或 與之相關(guān)的故障占所有旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障的 60% 以上，微小的錯(cuò)位可能造成系統(tǒng)轉(zhuǎn)速失穩(wěn)、振動(dòng)加劇、齒輪偏載和疲勞破壞等嚴(yán)重后果。關(guān)于齒輪嚙合錯(cuò)位，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了較多的研究，就研究方法而言，主要分為解析法和仿真。Shao 等研究了斜齒輪嚙合錯(cuò)位對(duì)齒輪嚙合力的影響。馬輝等研究了修形對(duì)嚙合錯(cuò)位的影響，結(jié)果表明，鼓向修形可改善錯(cuò)位對(duì)齒輪接觸應(yīng)力的影響。Lin 等、Wang 等和 Saxena 等建立了斜齒輪副嚙合剛度計(jì)算模型，說明了嚙合錯(cuò)位對(duì)斜齒輪嚙合剛度的影響，但他們的模型均為切齒嚙合模型，模型較為簡單，考慮因素較少。Guan 等和 Wei 等以齒式聯(lián)軸器為對(duì)象，考慮錯(cuò)位建立齒式聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型，研究了錯(cuò)位對(duì)輪齒接觸特性的影響，研究結(jié)果表明，在錯(cuò)位情況下輪齒表面由原來的線接觸變?yōu)辄c(diǎn)接觸。Shi 等建立了準(zhǔn)雙曲面齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，研究軸不對(duì)中對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響，結(jié)果表明，軸系不對(duì)中對(duì)速度、轉(zhuǎn)矩波動(dòng)等響應(yīng)產(chǎn)生了較大影響。Zhan建立了嚙合剛度的有限元模型，分析了齒輪錯(cuò)位對(duì)嚙合剛度的影響。Jones 等和 Li運(yùn)用有限元方法，建立齒輪模型研究了嚙合錯(cuò)位對(duì)齒輪嚙合性能的影響，錯(cuò)位改變了嚙合力、傳動(dòng)誤差和輪齒接觸模式，輪齒修形可減小錯(cuò)位的影響，但他們的建模過程中均未考慮系統(tǒng)各齒輪軸受載產(chǎn)生的彎扭耦合作用對(duì)嚙合錯(cuò)位的影響。

　　國內(nèi)外學(xué)者在研究齒輪嚙合錯(cuò)位時(shí)，所建立的模型多為切齒錯(cuò)位模型，模型中未考慮齒輪軸在運(yùn)轉(zhuǎn)過程中受載產(chǎn)生的彎扭耦合作用(各軸系柔性) 對(duì)嚙合錯(cuò)位的影響;研究多局限于錯(cuò)位對(duì)齒輪副嚙合剛度、接觸狀態(tài)等齒輪自身嚙合性能影響，而錯(cuò)位對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性，特別是錯(cuò)位對(duì)應(yīng)力造成的影響研究較少。針對(duì)以上研究不足，本文運(yùn)用超單元縮聚方法對(duì)系統(tǒng)各軸系和齒輪輪齒進(jìn)行縮聚創(chuàng)建縮聚主節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)軸系及齒輪柔性化，結(jié)合多體動(dòng)力建模理論，在各主節(jié)點(diǎn)施加約束和載荷，建立了考慮錯(cuò)位的全柔體單級(jí)航空高速直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，研究了齒輪嚙合錯(cuò)位對(duì)系統(tǒng)影響。

　　一、嚙合錯(cuò)位齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

　　嚙合錯(cuò)位主要分為 3 種：角度錯(cuò)位、軸向錯(cuò)位和徑向錯(cuò)位，如圖 1 所示，錯(cuò)位導(dǎo)致齒輪非正常嚙合，進(jìn)而影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，文獻(xiàn)的錯(cuò)位試驗(yàn)研究結(jié)果表明，錯(cuò)位增大了振動(dòng)位移頻譜中各主頻處幅值，其中角度錯(cuò)位的增幅更大，因此本文主要研究角度錯(cuò)位。

圖 1 嚙合錯(cuò)位類型

　　耦合動(dòng)力學(xué)模型基于 Guyan 矩陣縮聚理論完成，通過子結(jié)構(gòu)分析法將結(jié)構(gòu)單元凝聚為一個(gè)超單元，大大縮減模型自由度。選取某一部件其動(dòng)力平衡方程為：

　　式中：M、K、C 分別為質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣；F 為載荷矩陣；u 為位移矩陣。

　　u 分為主自由度 u_m 和從自由度 u_s，兩者關(guān)系為：

　　式中：T 代表 u_m 和 u_s 相互關(guān)系，u_m 和 u_s 分別用 n_m 和 n_s 階向量表示，T 為 n_m × n_s 階矩陣，式(2) 表示為：

　　靜態(tài)時(shí)：

　　假設(shè)部件有 m 個(gè)主自由度，且有 s 個(gè)從自由度，則式(4)可以表示為：

　　式中：K_mm、K_ms、K_sm、K_ss 依次為 m×m、m×s、s×m、s×s 階剛度矩陣：主自由度上的載荷向量為 F_mm。

　　由式(5)可得 :

　　由式(2)、(6)可得：

　　聯(lián)立式(6)、(7)、(8)可得

　　通過有限元縮聚完成各子結(jié)構(gòu)分析，同時(shí)將傳遞矩陣 T 寫入式(1)的阻尼矩陣及質(zhì)量矩陣中：

　　主自由度代替了原本結(jié)構(gòu)的自由度，其縮減的自由度動(dòng)力學(xué)方程為：

　　根據(jù)上述建模理論，建立傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，流程如圖 2 所示，其中輸入、輸出齒輪參數(shù)如表 1 所示，齒輪材料為 9310 合金鋼。

圖 2 節(jié)點(diǎn)有限元法動(dòng)力學(xué)建模流程

　　采用十節(jié)點(diǎn)二階四面體單元( Solid187 單元) 對(duì)兩齒輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分，劃分過程中對(duì)幾何進(jìn)行簡化(忽略倒角等微小幾何特征) ，保證模型精度兼顧計(jì)算效率。高速輸入軸單元數(shù)量 80 673，節(jié)點(diǎn)數(shù)量 134 110，輸出軸單元數(shù)量 109 170，節(jié)點(diǎn)數(shù)量 181 379。

表 1 齒輪參數(shù)

　　在輸入、輸出軸上設(shè)置 MPC(柔性多點(diǎn)約束)主節(jié)點(diǎn)用以創(chuàng)建多體耦合連接關(guān)系。其中輸入軸設(shè)置 3 個(gè)主節(jié)點(diǎn)：1 個(gè)功率輸入節(jié)點(diǎn)與輸入扭矩建立耦合關(guān)系，2 個(gè)軸承節(jié)點(diǎn)與箱體建立耦合關(guān)系;輸出軸設(shè)置 3 個(gè)主節(jié)點(diǎn)：1 個(gè)功率輸出節(jié)點(diǎn)與輸出轉(zhuǎn)速建立耦合關(guān)系，2 個(gè)軸承節(jié)點(diǎn)與箱體建立耦合關(guān)系。

　　運(yùn)用軸承節(jié)點(diǎn)建立齒輪軸系與箱體之間的耦合關(guān)系，軸承滾動(dòng)體與內(nèi)外圈之間的耦合關(guān)系為：

　　運(yùn)用嚙合節(jié)點(diǎn)建立主動(dòng)和從動(dòng)齒輪嚙合關(guān)系，如圖 3 所示，在每個(gè)輪齒節(jié)圓位置沿齒寬方向創(chuàng)建均勻分布的縮聚主節(jié)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)輪齒柔性化建模。

圖 3 考慮嚙合錯(cuò)位的齒輪嚙合單元

　　將主節(jié)點(diǎn)載荷分布到齒面節(jié)點(diǎn)上，可計(jì)及輪齒彎曲、剪切等變形影響。另外，該方法可考慮軸系、輪齒瞬時(shí)變形、偏斜等導(dǎo)致的嚙合錯(cuò)位狀態(tài)，進(jìn)而影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

　　二、嚙合錯(cuò)位對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響

　　齒輪嚙合特性

　　齒輪副嚙合力：多體動(dòng)力學(xué)模型中求解齒輪副所受圓周力和徑向力有效值隨錯(cuò)位角度變化趨勢如圖 4、5 所示，由圖 4、5 可知，總體上圓周力和徑向力均隨錯(cuò)位角度增大呈增大趨勢，0. 05°范圍內(nèi)兩者變化趨勢較為緩和，0. 1°時(shí)圓周力和徑向力大小分別為 7 852 N 和 3 418 N 相比于正常情況下的增幅分別為 2. 9%和 21. 8%，錯(cuò)位角超過 0. 1° 后圓周力和徑向力增幅顯著。

　　動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力：考慮齒輪的接觸強(qiáng)度。得到齒輪動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力可以分析其受力狀態(tài)、嚙合情況和沖擊程度等，對(duì)研究齒輪嚙合特性至關(guān)重要。

　　嚙合錯(cuò)位角 θ 從 0°變化至 0. 2°時(shí)，齒輪副動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力隨 θ 變化的時(shí)頻域響應(yīng)如圖 6 所示，齒輪材料為 9310 鋼，屈服強(qiáng)度 940 MPa，正常情況下接觸應(yīng)力均值是 595 MPa，滿足接觸強(qiáng)度要求。隨著 θ 增大接觸應(yīng)力明顯增大，這是因?yàn)殄e(cuò)位后輪齒接觸面偏向一側(cè)，造成偏載。相同時(shí)間內(nèi)應(yīng)力幅交變頻率更快，加速了材料的疲勞破壞;接觸應(yīng)力頻譜中主要包含嚙頻及其 2 倍頻、3 倍頻，嚙頻處幅值隨著 θ 增大明顯增加。

圖 6 接觸應(yīng)力隨錯(cuò)位角變化時(shí)頻域響應(yīng)

　　接觸應(yīng)力均值和幅值隨錯(cuò)位角 θ 變化如圖 7 所示，隨 θ 增大接觸應(yīng)力均值和幅值呈增大趨勢，θ 從 0. 05°至 0. 2° 接觸應(yīng)力均值分別為 632、762、983、1 247 MPa，相比于正常情況下分別增加 6. 22%、28. 1%、65. 2%、109. 6%;θ 從 0. 05°至 0. 2°接觸應(yīng)力幅值分別為 620、827、1 235、1 446 MPa，相比于正常情況下分別增加 3. 85%、38. 5%、106%、142%；總的來看，角度錯(cuò)位對(duì)接觸應(yīng)力影響較大，θ 在 0. 05°內(nèi)接觸應(yīng)力增幅較小，超過 0. 1° 后急劇增加，錯(cuò)位 0. 15°時(shí)接觸應(yīng)力已超過材料的屈服強(qiáng)度。

圖 7 接觸應(yīng)力隨錯(cuò)位角變化

　　傳動(dòng)誤差：傳動(dòng)誤差峰峰值隨錯(cuò)位角 θ 變化如圖 8 所示，傳動(dòng)誤差峰峰值隨 θ 增大呈明顯增大趨勢，θ 從 0. 05°至 0. 2°峰峰值分別為 4. 1、5. 4、5. 8、7. 0 μm，相比于正常情況下分別增加 5. 1%、38. 5%、48. 7%、79. 5%，錯(cuò)位在 0. 05°內(nèi)，傳動(dòng)誤差峰峰值變化較小，超過 0. 05°后增幅加劇。

圖 8 傳動(dòng)誤差峰峰值隨錯(cuò)位角變化

　　系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性

　　振動(dòng)加速度：錯(cuò)位角 θ 從 0°增至 0. 2°，拾振點(diǎn)振動(dòng)加速度隨 θ 變化的時(shí)頻域響應(yīng)如圖 9 所示，振動(dòng)加速度隨 θ 增大急劇增大;加速度頻譜圖主要包含嚙頻及其 2 倍頻、3 倍頻，嚙頻及其 3 倍頻處幅值隨 θ 增大明顯增大，隨著錯(cuò)位程度增大最大幅值對(duì)應(yīng)頻率向高頻轉(zhuǎn)變，θ 為 0. 2°時(shí)最大幅值頻率由原先嚙頻的 2 倍頻轉(zhuǎn)變?yōu)閲ьl的 3 倍頻，與此同時(shí)由頻域圖可以明顯看出，隨著 θ 增大，各主頻處出現(xiàn)明顯的邊頻帶。

圖 9 振動(dòng)加速隨錯(cuò)位角變化時(shí)頻域響應(yīng)

　　振動(dòng)加速度 RMS 隨 θ 變化如圖 10 所示，總體來看，加速度隨 θ 增大呈增大趨勢，錯(cuò)位小于 0. 05° 時(shí)振動(dòng)加速度變化較緩，超過 0. 05°時(shí)振動(dòng)加劇，θ 從 0. 05° 至 0. 2° 振動(dòng)加速度分別為 1 371. 6、2 192. 5、5 160. 3、8 996. 1 m·s -2，相比于正常情況下分別增加 33. 9%、114. 1%、403. 9%、778. 5%，由此可見，振動(dòng)加速度對(duì)嚙合錯(cuò)位較為敏感，微小的錯(cuò)位即可造成系統(tǒng)劇烈振動(dòng)。

圖 10 振動(dòng)加速度隨錯(cuò)位角變化

　　動(dòng)應(yīng)力：多柔體動(dòng)力學(xué)模型結(jié)合有限元方法獲取系統(tǒng)動(dòng)應(yīng)力(模態(tài)應(yīng)力恢復(fù)法),該方法簡單高效適用于絕大多數(shù)的機(jī)械構(gòu)件。不同錯(cuò)位角下，高速輸入齒輪軸動(dòng)應(yīng)力云圖如圖 11 所示，未錯(cuò)位情況下，最大動(dòng)應(yīng)力出現(xiàn)在齒輪和軸連接處(應(yīng)力集中)，且軸系動(dòng)應(yīng)力隨著錯(cuò)位角增大明顯增大。

圖 11 不同錯(cuò)位角動(dòng)應(yīng)力云圖

　　測點(diǎn)動(dòng)應(yīng)力時(shí)頻域響應(yīng)如圖 12 所示，動(dòng)應(yīng)力隨著錯(cuò)位角 θ 增大而增大，θ 為 0°和 0. 2°時(shí)應(yīng)力峰值別為 65 MPa 和 165 MPa，增大近 1. 5 倍;頻譜圖中，軸頻處幅值最大，嚙頻處幅值較小但隨 θ 增大其幅值逐漸增大，同時(shí)嚙頻處出現(xiàn)大量邊頻帶，θ 為 0. 2°嚙頻處邊頻帶如圖 13 所示。

圖 12 動(dòng)應(yīng)力隨錯(cuò)位角變化時(shí)頻域響應(yīng)

圖 13 θ= 0. 2°時(shí)動(dòng)應(yīng)力邊頻帶

　　由圖 13 可知，邊頻帶主要成分為嚙頻和軸頻及其倍頻，該特性可以為系統(tǒng)故障甄別提供思路。

　　動(dòng)應(yīng)力均值和幅值隨錯(cuò)位角 θ 變化如圖 14 所示，兩者均隨 θ 增大呈增大趨勢，錯(cuò)位為 0. 2°時(shí)動(dòng)應(yīng)力均值和幅值較正常情況下分別增大 109. 7%和 441. 3%，動(dòng)應(yīng)力增大加速零件疲勞，減少零件壽命;同時(shí)由圖 14 可以發(fā)現(xiàn)，θ 在 0. 05°內(nèi)動(dòng)應(yīng)力變化較小，θ 大于 0. 05°后增幅較快。

圖 14 動(dòng)應(yīng)力隨錯(cuò)位角變化

　　三、結(jié)論

　　1) 嚙合力、動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力和傳動(dòng)誤差均隨錯(cuò)位角度增大呈增大趨勢，錯(cuò)位角度超過 0. 05°后嚙合力、動(dòng)態(tài)接觸應(yīng)力和傳動(dòng)誤差峰峰值增幅明顯變大，嚙合性能惡化，其中通常錯(cuò)位角的范圍控制在 2′ ~ 3′之內(nèi)以及可通過提高軸承的安裝精度來提高轉(zhuǎn)配的精度。

　　2) 振動(dòng)加速度和軸系動(dòng)應(yīng)力隨錯(cuò)位角增大呈增大趨勢，其中振動(dòng)加速度對(duì)嚙合錯(cuò)位較為敏感，較小的錯(cuò)位即可造成系統(tǒng)劇烈的振動(dòng);由頻域響應(yīng)可知，隨著錯(cuò)位角增大，各主頻附近出現(xiàn)由軸頻及其諧波組成的豐富邊頻帶，該特性可為系統(tǒng)故障診斷提供思路。

　　3) 高速齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)對(duì)齒輪嚙合精度要求極高，較小錯(cuò)位角度即可導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性急劇惡化，對(duì)于本系統(tǒng)而言，嚙合錯(cuò)位角度應(yīng)控制在極小的錯(cuò)位角度范圍以內(nèi)。

　　參考文獻(xiàn)略.