齒輪在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于存在著制造誤差、安裝誤差和受載變形等因素，齒輪的嚙合過程會(huì)產(chǎn)生嚙入嚙出沖擊、偏載、振動(dòng)和噪聲等現(xiàn)象。通過對(duì)齒輪的齒向進(jìn)行修形，可以有效地減小齒輪的嚙合沖擊，并降低嚙合時(shí)的偏載情況，從而提高齒輪使用壽命。現(xiàn)階段幾乎所有的高速、重載、低噪的齒輪都需要進(jìn)行齒向修形。修形齒輪加工時(shí)的刀具運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃較標(biāo)準(zhǔn)螺旋齒面更為復(fù)雜，需要根據(jù)齒向修形后的齒面螺旋線規(guī)劃刀具的加工運(yùn)動(dòng)軌跡，滿足齒面的對(duì)稱齒向修形和任意非對(duì)稱齒向修形加工需求。

　　齒向修形是指沿齒寬方向有意識(shí)地微量修整齒面，使實(shí)際齒面偏離理論齒面的修形方法。Walker針對(duì)齒輪接觸狀態(tài)下的應(yīng)力集中問題，率先提出對(duì)直齒輪進(jìn)行齒向修形，以此改善其接觸特性并提高齒輪的承載能力。Yoshino 等提出了一種通過補(bǔ)償?shù)姆绞綄?duì)砂輪廓形和磨削位置進(jìn)行調(diào)整的方法，實(shí)現(xiàn)了齒輪成形磨削時(shí)的齒向修形。Shih 等針對(duì)五軸數(shù)控成形磨齒機(jī)，提出了一種高階修正的方法實(shí)現(xiàn)齒向修形。在國內(nèi)，魏延剛等結(jié)合齒輪傳動(dòng)的特點(diǎn)，對(duì)漸開線直齒輪進(jìn)行了齒向修形設(shè)計(jì)，并使用有限元方法論證了齒向修形可以有效避免齒輪嚙合時(shí)的邊緣效應(yīng)。宋樂明研究了國外鼓形齒的修形標(biāo)準(zhǔn)，給出了鼓形修形量的具體計(jì)算公式。郭二廓等建立了齒向修形誤差評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型，通過調(diào)整砂輪和工件安裝參數(shù)對(duì)接觸線進(jìn)行優(yōu)化，提高了成形磨齒時(shí)的齒向修形精度。汪中厚等根據(jù)成形磨齒的嚙合關(guān)系，結(jié)合實(shí)際齒向修形曲線推導(dǎo)了齒面接觸線方程，并利用多組接觸線進(jìn)行曲面擬合，構(gòu)建了齒向修形曲面模型。

　　綜上所述，國內(nèi)外研究學(xué)者對(duì)齒輪的齒向修形技術(shù)已經(jīng)建立了較為完善的理論體系。但現(xiàn)階段齒輪齒向修形技術(shù)的研究重點(diǎn)在于修形齒面的優(yōu)化設(shè)計(jì)和分析上，而面向?qū)嶋H的連續(xù)展成磨削方法的研究還較少，很難為齒向任意修形齒輪的精密加工提供技術(shù)支撐。

　　一、齒向任意修形齒面理論建模

　　標(biāo)準(zhǔn)螺旋齒面建模

　　從螺旋齒面形成原理出發(fā)，建立標(biāo)準(zhǔn)螺旋齒面的方程(圖 1) 。首先在空間建立一個(gè)固定的坐標(biāo)系 S₀ (O₀-x₀，y₀，z₀ ) ，如圖 1a 所示，則齒輪的端面型線 Γ 的坐標(biāo)方程為:

　　式中: θ 為齒輪端面型線的參變量。

　　令端面型線 Γ 繞 z₀ 軸做螺旋運(yùn)動(dòng)，即型線繞 z₀ 軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度 φ 的同時(shí)，沿 z₀ 軸移動(dòng)距離 pφ。此時(shí)，端面型線 Γ 在空間上形成的軌跡曲面就是標(biāo)準(zhǔn)螺旋面。圖 1b 中，S₁( O₁-x₁，y₁，z₁ ) 表示型線 Γ 螺旋運(yùn)動(dòng)后的坐標(biāo)系，由 S₀ 到 S₁ 的坐標(biāo)變換用矩陣為:

　　將式(1) 代入式(2) 得到螺旋齒面表達(dá)式

　　式中: φ 為端面型線 Γ 的螺旋運(yùn)動(dòng)參變量; p 表示螺旋參數(shù)，p =導(dǎo)程/(2π) ，它的意義為型線 Γ 繞 z₀ 軸轉(zhuǎn)動(dòng)單位角度的同時(shí)，沿 z₀ 軸移動(dòng)的距離。

　　齒向修形后的齒面建模

　　在建立的標(biāo)準(zhǔn)齒面模型基礎(chǔ)上，對(duì)端面廓形的螺旋運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行修形，形成齒向修形齒面。齒向修形曲線可以是修正的圓柱螺旋線，或其他的任意修形曲線。由于齒向鼓形修形曲線設(shè)計(jì)簡單，修形效果較為直觀，故以鼓形修形曲線為例建立修形齒面模型(圖 2) 。

　　圖 2a 表示齒輪端面廓形沿齒向修形后的螺旋線運(yùn)動(dòng)形成的修形齒面示意圖，分度圓上的齒向鼓形修形曲線如圖 2b 所示。修形的鼓點(diǎn)為齒寬中部，修形量為 0，齒輪的上、下端面處修形量最大。修形量的大小與齒寬位置的關(guān)系函數(shù)為:

　　式中: x 為在齒寬方向上的位置; y 表示修形量。

　　根據(jù)齒向修形齒面的形成原理，采用附加運(yùn)動(dòng)的方式建立修形齒面方程。首先根據(jù)齒向修形曲線計(jì)算齒輪在齒寬方向上各端截面處的修形量，該修形量為修形前后齒輪端截面廓形的位置偏差; 再根據(jù)各截面處修形量的大小改變齒輪廓形的位置，如圖 3 所示; 最終的修形齒面由所有截面上的齒輪廓形構(gòu)成。

　　齒向修形時(shí)，齒輪廓形在標(biāo)準(zhǔn)螺旋運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，再附加一個(gè)繞齒輪軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為齒輪的分度圓半徑。因?yàn)樾扌瘟恳话爿^小，可將附加轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長近似為與修形量對(duì)應(yīng)的廓形移動(dòng)長度。

　　式中: Φ 為齒輪端面廓形的附加轉(zhuǎn)動(dòng)量; r 為齒輪的分度圓半徑。

　　由于附加運(yùn)動(dòng)的存在，圖 1b 中，由 S₀ 到 S₁ 的坐標(biāo)變換矩陣為:

　　聯(lián)立式(1) 和式(6) ，得到最終的齒向修形齒面方程。

　　式中: x'₁、y' ₁、z' ₁ 表示齒向修形齒面在齒輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。

　　二、連續(xù)展成磨削運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法

　　典型的數(shù)控蝸桿砂輪磨齒機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖 4 所示，連續(xù)展成磨削齒向修形齒輪時(shí)，齒輪的齒向修形可通過改變蝸桿砂輪的磨削運(yùn)動(dòng)軌跡實(shí)現(xiàn)。蝸桿砂輪沿齒輪的附加徑向運(yùn)動(dòng)(X 軸的運(yùn)動(dòng)) 及沿齒輪的附加切向運(yùn)動(dòng) (Y 軸的運(yùn)動(dòng)) 都可改變包絡(luò)出的齒輪廓形的位置。以齒輪分度圓處的齒向修形量為基準(zhǔn)，分別討論 X 軸和 Y 軸的附加運(yùn)動(dòng)量與齒向修形量之間的關(guān)系。將蝸桿砂輪看做是一把齒條刀具，其軸截面廓形近似為直線。

　　圖 5 中，P_a 為齒向修形后的齒輪端截面廓形，P_b 為修形前的齒輪端截面廓形，齒輪在該端截面處的齒向修形量為 δ_n，則對(duì)應(yīng)的齒輪端截面廓形的偏移量為 δ_τ。

　　則 X 軸的附加移動(dòng)量 Δx 與修形量之間的關(guān)系為:

　　式中: β 為齒輪的螺旋角; α_τ 為齒輪的端面壓力角。

　　齒條刀具沿 X 軸方向移動(dòng) Δx 后，其左右齒廓相對(duì)于齒輪的偏移量相同，因此 X 軸附加移動(dòng)在齒輪齒槽的左右齒面廓形上產(chǎn)生相同的修形量。

　　(2) Y 軸附加移動(dòng)量

　　圖 6 表示 Y 軸的附加移動(dòng)與包絡(luò)出的齒輪廓形間的關(guān)系。則 Y 軸的附加移動(dòng)量 Δy 與修形量之間的關(guān)系為:

　　由于齒輪與齒條刀在分度圓處做純滾動(dòng)，因此 Y 軸的附加移動(dòng)量 Δy 等于齒輪端截面廓形的偏移量 δ_τ。由于 C 軸和 Y 軸在齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中具有定比例的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，可將 Y 軸的附加移動(dòng)量換算為 C 軸的附加轉(zhuǎn)動(dòng)量，產(chǎn)生的修形效果相同。根據(jù)齒輪與齒條刀之 間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，得到 C 軸附加轉(zhuǎn)動(dòng)量 Δc 與 Y 軸的附加移動(dòng)量 Δy 的關(guān)系為:

　　由于 Y 軸或 C 軸是沿齒槽的單方向運(yùn)動(dòng)，因此 Y 軸或 C 軸的附加運(yùn)動(dòng)在齒槽的左右齒面廓形上產(chǎn)生相反的修形量。雙面磨削時(shí)，X 軸和 Y 軸(或 C 軸) 的組合運(yùn)動(dòng)可同時(shí)實(shí)現(xiàn)左右齒面任意的齒向修形。

　　蝸桿砂輪與齒輪的嚙合是一對(duì)相錯(cuò)軸螺旋齒輪的嚙合，相錯(cuò)軸齒輪齒面在嚙合過程中的每一瞬時(shí)皆為點(diǎn)接觸，連續(xù)展成磨削過程中齒面接觸點(diǎn)的位置連續(xù)變化。接觸點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)軌跡為兩個(gè)齒面的嚙合線，接觸點(diǎn)沿空間嚙合線的運(yùn)動(dòng)在齒面上形成一條接觸跡。蝸桿砂輪運(yùn)動(dòng)至齒輪齒寬的不同位置處，均會(huì)在齒面上形成一條接觸跡。因接觸跡與齒輪的端截面的夾角始終為 β_b，蝸桿砂輪沿齒輪寬度方向的連續(xù)運(yùn)動(dòng)在齒面上形成一系列相互平行的接觸跡，所有的接觸跡構(gòu)成被加工的齒面。當(dāng)齒輪存在齒向修形時(shí)，其修形曲線是疊加在齒面分度圓的齒向螺旋線上，使得分度圓上的接觸點(diǎn)在不同齒寬位置處存在高度差，達(dá)到齒向修形的目的。

　　雙面磨削齒輪時(shí)，砂輪同時(shí)在齒槽的左右齒面上形成接觸跡。由于斜齒輪左右齒面上的接觸跡位置存在著高度差，如圖 7 所示，兩條接觸跡在分度圓處的接觸點(diǎn)沿齒寬方向的高度差為 2S_v。因此砂輪運(yùn)動(dòng)至齒輪某一齒寬處，對(duì)應(yīng)的實(shí)際左右齒面在接觸跡處的修形量不是左右對(duì)稱的。

　　將蝸桿砂輪沿齒寬方向的運(yùn)動(dòng)軌跡離散為一系列樣條點(diǎn)，根據(jù)每一個(gè)樣條點(diǎn)位置處對(duì)應(yīng)的左右齒面分度圓上的實(shí)際齒向修形量計(jì)算 X、Y 軸附加運(yùn)動(dòng)量( 如圖 8 所示) ，擬合所有樣條點(diǎn)形成最終的蝸桿砂輪磨削運(yùn)動(dòng)軌跡。

　　圖 8 中，線 1、2 分別表示蝸桿砂輪運(yùn)動(dòng)至齒寬中間位置時(shí)在左、右齒面形成的接觸跡，兩條接觸跡在齒寬方向的高度差為 2S_v，根據(jù)左右齒面分度圓上的齒向修形曲線分別計(jì)算出該樣條點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的左、右齒面修形量 δ_nL、δ_nR。由前面分析可知，X 軸的附加移動(dòng)可在左右齒面上形成相同的修形量，Y 軸的附加移動(dòng)可在左右齒面上形成相反的修形量。因此，X 和 Y 軸的組合運(yùn)動(dòng)可同時(shí)實(shí)現(xiàn)左右齒面任意的齒向修形。在砂輪運(yùn)動(dòng)軌跡的每一個(gè)樣條點(diǎn)處根據(jù)實(shí)際的左右齒面修形量計(jì)算對(duì)應(yīng)的 X、Y 軸附加運(yùn)動(dòng)量，再將附加運(yùn)動(dòng)疊加至砂輪的標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)軌跡上，完成對(duì)齒向修形齒輪連續(xù)展成磨削的運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃。

　　三、齒向任意修形齒輪的連續(xù)展成磨削實(shí)驗(yàn)

　　為驗(yàn)證齒向任意修形齒輪連續(xù)展成磨削運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法的正確性，在開發(fā)的蝸桿砂輪磨齒功能軟件上開發(fā)齒向任意修形功能模塊，包括齒向修形功能界面開發(fā)及磨削 NC 程序編寫。在生產(chǎn)流程模塊下增加齒向任意修形功能界面，用于輸入被加工齒輪的齒向修形曲線，圖 9 為齒向修形曲線輸入界面。

　　利用公式(8) 、(9) 、(12) 計(jì)算出蝸桿砂輪在每一個(gè)樣條點(diǎn)處的附加運(yùn)動(dòng)量 Δx、Δy，將砂輪的附加運(yùn)動(dòng)量疊加至標(biāo)準(zhǔn)磨削軌跡上，并生成磨削軌跡樣條程序 (如圖 10) ，砂輪通過走樣條插補(bǔ)的方式實(shí)現(xiàn)齒向修形齒輪的磨削。

　　圖 10 所示的磨削軌跡樣條程序中，每一個(gè)樣條點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)一行 X、Y、Z、YM 軸的坐標(biāo)，其中 Z 軸的坐標(biāo)從磨削行程的起始點(diǎn)到磨削行程的終止點(diǎn)，X 軸的坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)樣條點(diǎn)處的附加運(yùn)動(dòng)量 Δx，Y 軸的坐標(biāo)為磨削時(shí)的砂輪竄刀量( 由磨削對(duì)角比決定) ，YM 軸為疊加在 Y 軸上的一根虛擬軸，YM 軸的坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)樣條點(diǎn)處的附加運(yùn)動(dòng)量 Δy。

　　實(shí)驗(yàn)選取的被加工齒輪參數(shù)如表 1 所示，分別進(jìn)行左右齒面對(duì)稱齒向修形和非對(duì)稱齒向修形齒輪磨削實(shí)驗(yàn)。

　　根據(jù)設(shè)計(jì)的齒向修形曲線，在界面上完成對(duì)齒向修形曲線的定義，并完成對(duì)齒向修形齒輪的磨削加工。被加工齒輪的離線檢測報(bào)告如圖 11 所示。

　　圖 11a 為齒向?qū)ΨQ修形齒輪的檢測報(bào)告，其齒向修形方式為鼓形修形，左右齒面的齒向修形曲線具有很好的一致性和對(duì)稱性。圖 11b 為齒向任意非對(duì)稱修形齒輪的檢測報(bào)告，左齒面的任意齒向修形曲線是由多段曲線組合而成，右齒面的齒向修形曲線為鼓形曲線。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了文中提出的連續(xù)展成磨削運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法的正確性。

　　四、結(jié)語

　　針對(duì)齒向任意修形齒輪的精密加工需求，在建立齒向修形齒面模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)齒向修形曲線對(duì)連續(xù)展成磨削運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證軌跡規(guī)劃方法的有效性。

　　(1) 在建立的標(biāo)準(zhǔn)齒面模型基礎(chǔ)上，根據(jù)齒向修形齒面的形成原理，采用疊加齒輪端截面廓形的附加運(yùn)動(dòng)方式建立了修形齒面方程。

　　(2) 根據(jù)修形齒輪的齒向任意修形曲線對(duì)蝸桿砂輪的連續(xù)展成磨削運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了規(guī)劃，建立了齒向修形量與 X 軸和 Y 軸的附加運(yùn)動(dòng)量之間的計(jì)算模型。

　　(3) 在蝸桿砂輪磨齒上開發(fā)了齒向任意修形功能模塊，并通過左右齒面齒向?qū)ΨQ修形和齒向任意非對(duì)稱修形齒輪的連續(xù)展成磨削實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了文中提出的連續(xù)展成磨削運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法的正確性。

　　參考文獻(xiàn)略.