齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)異常振動(dòng)是導(dǎo)致其輪齒及軸承元件發(fā)生故障的主要原因之一，研究支撐軸承誘發(fā)的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)異常振動(dòng)特性可為系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的準(zhǔn)確監(jiān)測(cè)與識(shí)別提供有益參考。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)不同誤差誘發(fā)的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特征進(jìn)行了大量研究。Chen 等研究了齒輪加工誤差對(duì)風(fēng)電行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律。Li 等建立了主動(dòng)齒輪、從動(dòng)齒輪、軸、電機(jī)和負(fù)載組成的 4 自由度 動(dòng)力學(xué)仿真模型。Ma 等簡(jiǎn)化了軸承和軸的剛度及阻尼計(jì)算方法，研究了帶有局部裂紋的 4 自由度齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型。Parey 等提出了含局部齒缺陷的 6 自由度齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。Omar 等考慮了扭轉(zhuǎn)和橫向剛度以及軸的阻尼影響，建立了 9 自由度齒輪動(dòng)力學(xué)仿真模型。Guo 等提出了基于齒輪-轉(zhuǎn)軸-軸承-箱體系統(tǒng)的有限元模型和集中參數(shù)法振動(dòng)模型。文獻(xiàn)建立了齒輪-轉(zhuǎn)軸-軸承傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，分析了輪齒修形對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響規(guī)律。Gafsson 等分析了外圈波紋度對(duì)滾動(dòng)軸承系統(tǒng)振動(dòng)譜的影響規(guī)律。Liu 等研究了滾動(dòng)軸承滾道表面非均勻波紋度誤差對(duì)軸承系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響規(guī)律。以上研究主要集中于對(duì)齒輪及滾動(dòng)軸承故障特征提取和故障診斷方法的研究，而對(duì)滾動(dòng)軸承及輪齒制造誤差對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特征影響規(guī)律的研究相對(duì)較少。

　　筆者為了研究軸承波紋度制造誤差對(duì)軸承-齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響，構(gòu)建了軸承滾道表面時(shí)變波紋度誤差表征模型，建立了考慮軸承內(nèi)外圈滾道表面波紋度幅值及波數(shù)以及時(shí)變齒輪嚙合剛度的軸承-軸-齒輪系統(tǒng)耦合動(dòng)力學(xué)模型，研究了不同轉(zhuǎn)速和負(fù)載條件下支撐軸承內(nèi)外圈滾道表面波紋度幅值和波數(shù)對(duì)齒輪嚙合動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響規(guī)律。

　　一、動(dòng)力學(xué)模型

　　滾動(dòng)軸承波紋度誤差模型

　　波紋度誤差是滾動(dòng)軸承部件表面不可避免存在的主要形狀誤差之一。滾動(dòng)軸承滾道表面存在波紋度時(shí)，波紋度不僅會(huì)引起周期性的位移激勵(lì)，還會(huì)使?jié)L動(dòng)體與滾道之間的接觸剛度發(fā)生周期性變化，導(dǎo)致滾動(dòng)體與滾道之間接觸力周期性變化，造成滾動(dòng)軸承及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生異常振動(dòng)和疲勞破壞。圖 1 為含波紋度誤差的軸承滾道示意圖。

　　滾動(dòng)軸承波紋度可采用正弦函數(shù)表示。滾動(dòng)軸承滾道的徑向表面在軸承內(nèi)圈滾道及外圈滾道的波紋度誤差 p_ij和 p_oj分別表示為

　　其中：Ail和 Aol分別為軸承內(nèi)圈滾道及外圈滾道波紋度誤差的幅值;αil和 αol分別為軸承內(nèi)圈滾道及外圈滾道誤差的初始角位置;f_c，f_i和 f_o為軸承保持架、內(nèi)圈及外圈滾道的旋轉(zhuǎn)頻率;l為波紋度階次;ξ 為波紋度最高階次;t 為時(shí)間;j 為第 j 個(gè)滾動(dòng)體;Z 為滾動(dòng)體個(gè)數(shù)。

　　根據(jù)赫茲理論，第 j 個(gè)滾動(dòng)體與滾道之間的接觸力為

　　其中：K_e為球與滾道之間的等效接觸剛度;n 為剛度指數(shù)，球軸承 n 取 1.5，圓柱滾子軸承 n 取 10/9。

　　第 j個(gè)球在接觸角方向的等效形變δ_j為

　　其中：θ_j = ω_ca t + 2π( j - 1 ) /Z;Z_bi為軸承在軸向預(yù)緊力作用下產(chǎn)生的軸向形變;α₀為軸承接觸角;D 為節(jié)圓直徑;α_a為軸承預(yù)載荷接觸角;X_bi與 Y_bi為軸承徑向形變;δ_e為初始撓度;

　　斜齒輪動(dòng)力學(xué)模型

　　齒輪副為非線性系統(tǒng)，筆者在考慮制造誤差的輪齒外嚙合剛度計(jì)算模型基礎(chǔ)上，建立斜齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，如圖 2 所示。

　　齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

　　其中：M 為齒輪當(dāng)量質(zhì)量，M =( m₁m₂ ) / ( m₁ + m₂ )，下標(biāo) 1 和 2 分別表示輸入齒輪與輸出齒輪;x 為齒輪在嚙合線方向上的相對(duì)位移;C(t)為齒輪嚙合阻尼;k(t)為齒輪時(shí)變嚙合剛度。

　　在不考慮齒輪間摩擦影響時(shí)，F(xiàn)(t)主要為齒輪動(dòng)態(tài)嚙合力，其表達(dá)式為

　　其中：δ_D為斜齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差，δ_D = r₁ θ ₁ - r₂ θ ₂ - y ₁ + y ₂;r 為齒輪節(jié)圓半徑;θ 為轉(zhuǎn)動(dòng)角度;y 為徑向位移。

　　在齒輪嚙合力作用下，輪齒彎曲、剪切以及壓縮變形而產(chǎn)生彎曲剛度 k_b、剪切剛度 k_s以及軸向壓縮剛度 k_c。嚙合點(diǎn)在某一時(shí)刻綜合嚙合剛度的表達(dá)式為

　　其中：k_h為齒輪嚙合過(guò)程中嚙合點(diǎn)處齒面受到嚙合力作用發(fā)生彈性變形而產(chǎn)生的接觸剛度;下標(biāo) g 表示主動(dòng)輪剛度;下標(biāo) p 表示從動(dòng)輪剛度。

　　二級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

　　齒輪-軸-軸承系統(tǒng)中的齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差主要受各部件加工精度、裝配誤差、載荷誘發(fā)的形變等影響。為研究滾動(dòng)軸承波紋度誤差對(duì)二級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中斜齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響，筆者建立了軸承-軸-齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)多自由度動(dòng)力學(xué)模型，如圖 3 所示。該模型包含輸入軸的 2 個(gè)圓柱滾子軸承、輸出軸的 2 個(gè)圓柱滾子軸承以及靠近負(fù)載端的深溝球軸承。齒輪被簡(jiǎn)化為等同于齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的剛性圓盤，并考慮了齒輪間的嚙合剛度及阻尼的影響。利用作用在軸承上的激振力，仿真波紋度誤差對(duì)該二級(jí)齒輪系統(tǒng)的影響。基于該動(dòng)力學(xué)模型，分析不同軸承波紋度誤差引起的齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)特征。

　　該模型采用的軸承參數(shù)和齒輪參數(shù)如表 1 和 表 2 所示。漸開(kāi)線齒輪嚙合時(shí)參與嚙合的輪齒對(duì)存在周期性變化，嚙合過(guò)程中齒輪會(huì)發(fā)生彈性形變，這些因素導(dǎo)致齒輪嚙合剛度的變化。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭振-徑向位移耦合動(dòng)力學(xué)方程為

　　其中：M₁，Ω_J1 和 K₁ 分別為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;和 u 分別為每個(gè)原件的位移、速度和加速度向量;Ω 為轉(zhuǎn)速;F_g為轉(zhuǎn)子重力;F_ex為系統(tǒng)所受外力;F_b為考慮波紋度誤差影響的軸承接觸力。

　　該動(dòng)力學(xué)模型的假設(shè)條件主要包括：①軸與軸承內(nèi)圈之間的接觸界面為固定連接;②軸承座和深溝球軸承外圈為彈性連接;③滾動(dòng)體與正常軸承滾道之間的接觸滿足 Hertz 接觸條件;④忽略滾動(dòng)體質(zhì)量的影響;⑤考慮滾動(dòng)軸承滾道表面制造誤差的影響;⑥不考慮保持架與內(nèi)外圈滾道和滾動(dòng)體之間的動(dòng)態(tài)接觸行為。

　　二、仿真結(jié)果分析

　　輸入轉(zhuǎn)矩 Tin設(shè)為 6 kN⋅m，轉(zhuǎn)速為 4 500 r/min，輸出段負(fù)載 T_out為 18 kN⋅m?？紤] 19 種波紋度誤差工況的影響，內(nèi)外圈滾道波紋度誤差參數(shù)如表 3 所示。工況 8~13 及工況 14~19 分別表示軸承 3 和軸承 4 存在波紋度誤差，誤差幅值及階數(shù)與工況 2~7 相同且對(duì)應(yīng)。由于不同位置圓柱滾子軸承的滾動(dòng)體在自轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)分別與內(nèi)外圈滾道不同幅值和階數(shù)的波紋度誤差接觸，故產(chǎn)生的沖擊特征會(huì)不同。因此，筆者對(duì)內(nèi)外圈波紋度誤差進(jìn)行單獨(dú)分析。

　　筆者在 Matlab 軟件中采用四階龍格-庫(kù)塔法，用方程求解軸承-軸-齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。圖 4，5 分別為軸承 1 和軸承 4 內(nèi)外圈滾道波紋度誤差對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響。不同誤差工況下齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)傳遞誤差如圖 6 所示。

　　圖 4~6 表明，當(dāng)滾動(dòng)軸承內(nèi)外圈滾道波紋度幅值和階數(shù)越大，齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值就越大，即波動(dòng)范圍越大，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特征變化越明顯，但其均方根(root mean square，簡(jiǎn)稱 RMS)值變化較小。對(duì)于輸入軸支撐滾動(dòng)軸承#1，即小齒輪軸的支撐滾動(dòng)軸承波紋度誤差工況，其外圈滾道波紋度對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響較其內(nèi)圈滾道波紋度誤差更明顯，且峰峰值更大。對(duì)于輸出軸支撐滾動(dòng)軸承#3，即大齒輪軸上的遠(yuǎn)輸出端滾動(dòng)軸承波紋度誤差工況，其內(nèi)外圈滾道對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響差異較小。對(duì)于近負(fù)載端的輸出軸支撐滾動(dòng)軸承#4，其內(nèi)外圈滾道波紋度誤差對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響相似;當(dāng)其波紋度誤差的幅值及階數(shù)相同時(shí)，滾動(dòng)軸承外圈滾道存在波紋度時(shí)，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值更大。

　　三、結(jié)束語(yǔ)

　　考慮了軸承時(shí)變嚙合剛度、嚙合阻尼及嚙合力的影響，提出了軸承內(nèi)外圈滾道波紋度誤差時(shí)變位移激勵(lì)模型，建立了含軸承滾道波紋度的多自由度軸承-軸-齒輪耦合動(dòng)力學(xué)模型，研究了不同轉(zhuǎn)速和負(fù)載條件下支撐軸承波紋度幅值和階次對(duì)齒輪傳動(dòng)系輪齒嚙合動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響規(guī)律。結(jié)果表明：輸入軸支撐軸承存在波紋度誤差時(shí)，其外圈滾道波紋度對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響大于內(nèi)圈滾道;輸出軸非負(fù)載端支撐軸承存在波紋度誤差時(shí)，其內(nèi)外圈滾道波紋度對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響相似;輸出軸負(fù)載端支撐軸承存在波紋度誤差時(shí)，其外圈滾道波紋度對(duì)齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差的影響大于內(nèi)圈滾道。

　　參考文獻(xiàn)略.