變厚齒輪是一種更普通的漸開線齒輪。其主要幾何特點是：沿齒輪軸線方向，變位系數(shù)及齒厚呈線性變化。變厚齒輪副可以實現(xiàn)平行軸、相交軸以及交錯軸傳動;通過調(diào)整齒輪副相對軸向位置實現(xiàn)無側(cè)隙的精密傳動。變厚齒輪傳動還具有傳動精度高、噪聲小、可實現(xiàn)小傾角傳動等優(yōu)點。因此，被廣泛應(yīng)用在精密傳動機構(gòu)、無側(cè)隙機器人 RV 減速器、船舶齒輪箱以及汽車傳動系統(tǒng)等方面。

　　目前，國內(nèi)外學(xué)者對變厚齒輪的加工進(jìn)行大量研究。日本學(xué)者 Mitome根據(jù)變厚齒輪的幾何特性，提出了往復(fù)式磨削、基座傾斜式滾齒法以及基座滑移式滾齒法，通過實際加工實驗證明，基座傾斜式滾齒法是最實用的方法。毛建忠等人提出了使用插齒機加工變厚齒輪的方法，探討了刀具的插齒角度對變厚齒輪齒厚的影響，并提出得到了最優(yōu)的插齒角度優(yōu)化方法。溫建民等提出了使用大平面砂輪磨齒機加工非漸開線變厚齒輪的方法，通過實驗驗證了所提方法的可行性。2018 年，李國龍等根據(jù)變厚齒輪的成形特點，提出了使用錐形蝸桿砂輪連續(xù)展成磨削變厚齒輪的方面，通過加工仿真實驗驗證了所提磨削方法的正確性，實現(xiàn)了變厚齒輪的高效、精密磨削。

　　隨著傳動系統(tǒng)對傳動精度以及傳動噪聲等要求的提高，變厚齒輪的高精、高效制造以及復(fù)雜修形變厚齒輪的制造是變厚齒輪的加工趨勢。加工仿真是驗證加工方法和加工精度的重要手段。目前常用三維和建模軟件以及一些專用軟件存在設(shè)置復(fù)雜、仿真精度低等問題。本文針對變厚齒輪的連續(xù)展成磨削方法，建立了錐形蝸桿的數(shù)學(xué)模型和錐形蝸桿磨削變厚齒輪的數(shù)學(xué)模型。

　　一、錐形蝸桿參數(shù)設(shè)計

　　圖 1 是錐形蝸桿加工變厚齒輪的示意圖。為簡單起見，用錐臺示意錐形蝸桿。圖中：平面 Q 為過錐形蝸桿軸線的平面;平面 P 為產(chǎn)型齒條的中性面;直線 L 為平面 P、Q 的交線;γ 是錐形蝸桿的錐角;β_I 是錐形蝸桿的安裝角。根據(jù)文獻(xiàn) 1，為實現(xiàn)無干涉的連續(xù)展成磨削變厚齒輪，以上幾何元素需滿足以下條件：①錐形蝸桿軸線與面 YOZ 平行;②平面 P 與平面 Q 垂直。

　　為方便計算，建立了如圖 2 所示的坐標(biāo)系。圖中：δ 是變厚齒輪的軸向后角，P₁ 是平面 Q 與產(chǎn)型齒條中性面交線與軸 Z 的交點，P₂ 是平面 Q 與面 YOZ 的交線和軸 Y 的交點，P₃ 是平面 Q 與產(chǎn)型齒條中性面交線與面 XOY 的交點。令點的 X、Y、Z 軸的坐標(biāo)分量為 x₁、y₁、z₁，根據(jù)前述的幾何條件，可得點 P₃ 的坐標(biāo)分量 x₃、y₃、z₃。

　　式中：β 為變厚齒輪螺旋角;λ 為錐形蝸桿的平均導(dǎo)程角。

　　因為平面 Q 與平面 P 垂直，可得點 P₂ 的坐標(biāo)分量 x₂、y₂、z₂：

　　由此計算錐形蝸桿的錐角 γ 及安裝角 β_I：

　　錐形蝸桿的左右齒形角 α_l、α_r：

　　式中：α_n 為產(chǎn)型齒條的法向壓力角。

　　二、錐形蝸桿磨削變厚齒輪模型

　　錐形蝸桿模型

　　錐形蝸桿的左右齒面可以看成是由蝸桿左右軸截面廓形沿錐形螺旋線掃略生成。圖 3 是錐形蝸桿齒面示意圖。圖中：坐標(biāo)系 S_c 為參考坐標(biāo)系，坐標(biāo)系S_m 為可動坐標(biāo)系;錐形蝸桿左右齒面軸截面廓線與坐標(biāo)系 S_m 固連;在錐形蝸桿的大端，坐標(biāo)系 S_c 與 S_m 原點的距離為 R_B(錐形蝸桿大端分度圓半徑)。

　　在坐標(biāo)系 S_m 中，錐形蝸桿左右齒面軸截面廓線的方程如下：

　　式中：u 為自由變量;P 為錐形蝸桿的平均導(dǎo)程。坐標(biāo)系 S_c 與坐標(biāo)系 S_m 間的轉(zhuǎn)換矩陣 M_cm 為：

　　綜上，可得到錐形蝸桿左右齒面的方程：

　　錐形蝸桿磨削變厚齒輪建模

　　與普通圓柱漸開線齒輪連續(xù)展成磨削一樣，錐形蝸桿磨削變厚齒輪過程中，錐形蝸桿與變厚齒輪的齒面是點接觸。每一瞬時的接觸點就是錐形蝸桿與變厚齒輪的嚙合點，通過計算錐形蝸桿每一時刻與齒面的嚙合點，可以算出完整的變厚齒輪的齒面。

　　圖 4 是錐形蝸桿磨削變厚齒輪的坐標(biāo)系示意圖。圖中：坐標(biāo)系 S_f 與坐標(biāo)系 S₁ 為固定坐標(biāo)系，其中軸 Zf 與變厚齒輪的軸線共線，軸 Z₁ 與錐形蝸桿的軸線平行，當(dāng)錐形蝸桿在初始位置時錐形蝸桿的軸線與軸 Z₁ 重合;坐標(biāo)系 S_g 與變厚齒輪固連，隨變厚齒輪繞軸線做旋轉(zhuǎn)運動;坐標(biāo)系 S_c 與錐形蝸桿固連，隨錐形蝸桿做自身軸線的轉(zhuǎn)動和平動;θ_g 是齒輪繞自身軸線旋轉(zhuǎn)角度;θ_c 是錐形蝸桿繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的角度。各坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換矩陣如下：

　　在錐形蝸桿磨削變厚齒輪過程中，錐形蝸桿主要完成繞自身軸線的運動與沿齒輪軸線直線運動，這兩個運動是相互獨立;變厚齒輪僅做繞自身軸線的轉(zhuǎn)動。所以，錐形蝸桿磨削變厚齒輪是一個雙自由度的嚙合運動。根據(jù)文獻(xiàn)，錐形蝸桿與變厚齒輪的嚙合點滿足嚙合方程：

　　嚙合方程在任意坐標(biāo)系中均是成立的。為計算方便，將錐形蝸桿磨削變厚齒輪嚙合方程的求解統(tǒng)一到坐標(biāo)系 S₁ 中。在坐標(biāo)系 S₁ 中錐形蝸桿左右齒面的方程為：

　　在坐標(biāo)系 S₁ 中，錐形蝸桿左右齒面上任一點處的法向量為：

　　令錐形蝸桿繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)角速度為 ω_c，沿齒輪軸線斜向下的移動速度為 V_c。對于錐形蝸桿左右齒面上任意一點，在坐標(biāo)系 S₁ 中的速度可以表示為：

　　其可以看成由 V₁^c1 、V₁^c2 兩部分組成：

　　齒輪的轉(zhuǎn)動角速度 ω_g 不僅受錐形蝸桿的轉(zhuǎn)動速度 ω_c 的影響，還受錐形蝸桿的移動速度 V_c的影響。ω_g 的計算公式如下：

　　式中：z_c、z_g 分別是錐形蝸桿的頭數(shù)和變厚齒輪齒數(shù);r 為變厚齒輪分度圓半徑。

　　在坐標(biāo)系 S₁ 中，變厚齒輪齒面上任意點處速度為：

　　其可以看成是由 V₁^g1 、V₁^g2 兩部分組成，其中;

　　所以，變厚齒輪左右齒面與變厚齒輪齒面任意點處的相對速度為：

　　由此，可以得到錐形蝸桿磨削變厚齒輪的嚙合方程：

　　其是一個含有 3 個未知量 u、θ、_θc 非線性方程。

　　由于 ω_c、V_c獨立，上式可以分成 f₁、f₂ 兩個獨立方程：

　　在求解時，通過給定從錐形蝸桿齒根(齒頂)變化的 u 的值，通過上式可求解 θ、θ_c。假設(shè)嚙合點在錐形蝸桿齒根處(u = u₀ )的 θ、θ_c 值分別是 θ₀、θ_c0;錐形蝸桿齒面任一點為嚙合點時的 u、θ、θ_c 為 u_i、θ_i、θ_ci。將嚙合點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到齒輪坐標(biāo)系 Sg 中即可得到變厚齒輪齒面。可得到變厚齒輪左齒面表達(dá)式：

　　轉(zhuǎn)換矩陣 Mgf 中齒輪轉(zhuǎn)動角度 θ_g 的計算如下：

　　三、數(shù)字實例

　　針對表 1 的變厚齒輪數(shù)據(jù)，設(shè)計了錐形蝸桿參數(shù)(表 2)，并利用所建立的錐形蝸桿磨削變厚齒輪齒輪的數(shù)字模型計算變厚齒輪仿真模型。并將仿真模型與理論變厚齒輪進(jìn)行了對比。

　　圖 5 是錐形蝸桿磨削變厚齒輪數(shù)字仿真得到的變厚齒輪左右齒面。將由數(shù)字模型算得的齒面與理論變厚齒輪的齒廓對比，得到數(shù)字模型與理論齒廓間的全齒面誤差(如圖 5 所示)。

　　由圖 6 可知，有數(shù)字仿真算得的變厚齒輪磨削齒面與理論的齒面間誤差極小，最大誤差僅 0.15 μm。并且，誤差具有在齒廓方向呈拋物線狀的特點。

　　四、結(jié)論

　　本文針對錐形蝸桿磨削變厚齒輪的數(shù)字仿真進(jìn)行了研究。對展成磨削變厚齒輪的錐形蝸桿的設(shè)計方法進(jìn)行了推導(dǎo)，建立了錐形蝸桿的數(shù)學(xué)模型。分析了變厚齒輪連續(xù)展成磨削的運動過程，建立錐形蝸桿磨削的變厚齒輪的數(shù)學(xué)模型。最后，以某一變厚齒輪為例，將由錐形蝸桿磨削變厚齒輪仿真模型得到的數(shù)字齒面與理論變厚齒輪的齒面進(jìn)行了全齒面的誤差分析，結(jié)果顯示誤差極小，驗證了建立模型的正確。

　　參考文獻(xiàn)略.