斜齒輪在工作過程中，除齒輪本體在外載荷作用下發生彎曲、剪切、徑向壓縮等變形，影響齒輪的接觸狀態以外，其支撐軸由于承受來自齒輪的軸向力、徑向力和切向力，發生彎曲及扭轉變形，使齒輪副中心距發生改變，導致齒輪接觸載荷分布及接觸剛度變化，從而對傳動系統的工作性能產生重要的影響。因此，綜合考慮支承軸變形的影響，開展斜齒輪接觸特性研究，對齒輪強度分析、壽命計算和齒輪系統動力學設計具有重要的工程意義。
國內外學者在齒輪接觸分析方面已進行了廣泛的研究。Conry等在考慮齒輪軸和輪齒彈性變形情況下，基于齒輪對嚙合的接觸條件，運用改進單純形法對斜齒輪齒面載荷分布進行計算；Simon采用有限元方法計算直齒輪和斜齒輪接觸變形，并基于大量的計算結果，采用回歸分析與插值函數獲得了綜合考慮斜齒輪彎曲和剪切變形的計算公式，并基于該式進行了斜齒輪的載荷與應力計算。卜忠紅等采用ANSYS軟件計算齒面柔度系數，基于線性規劃法求解斜齒輪的載荷分布，并分析了齒輪結構參數對嚙合剛度的影響。白恩軍采用有限元軟件研究了齒輪軸變形下斜齒輪的接觸特性，結果表明齒輪軸變形影響齒向載荷分布，降低了齒輪的嚙合剛度。李杰等采用有限元軟件建立變速器齒輪與齒輪軸有限元模型，分析變速器齒輪軸變形對齒面接觸狀態的影響。Li采用數學規劃方法結合三維有限元仿真，在考慮齒輪裝配誤差、加工誤差和齒輪修形條件下，對直齒輪接觸進行研究，分析加工誤差、裝配誤差和齒輪修形參數等對齒輪載荷分布、接觸應力和彎曲應力的影響。
目前已發表文獻大多研究齒輪接觸載荷分布及齒輪結構參數、裝配及加工誤差等對其接觸特性的影響，有關齒輪軸變形對齒輪接觸尤其是斜齒輪的接觸特性研究相對較少。本文以支承于軸上的一對斜齒輪副為研究對象，基于齒輪嚙合理論及線性規劃內點法，應用MATLAB軟件編寫斜齒輪齒面接觸載荷分布計算程序，對齒輪嚙合區接觸線、齒向載荷分布進行計算，分析齒輪軸彎曲及扭轉變形對斜齒輪接觸特性的影響規律。
一、齒面接觸線
齒面方程：以兩齒輪中心連線為y軸，以主動齒輪軸線方向為z軸，按照右手定則建立如圖1所示直角坐標系，其中，c為斜齒輪端面漸開線起點，端面漸開線上任意一點s的法線與基圓切于點a，取O1c與X軸的夾角為σ，代表齒輪的旋轉位置，取角∠aO1c為u，代表齒輪的嚙合位置。
根據漸開線的形成原理，有 
對漸開線上任意一點S，則有，
式中，(x，y)為S點的坐標。
將漸開線齒廓繞Z軸作螺旋運動，形成漸開螺旋面，如將點S繞N軸旋轉至S1點，旋轉角為θ，則螺旋面上點 S1的坐標為：
式中，p為導程。
齒面接觸線：齒面接觸線方程參考文獻中建立的的斜齒輪齒面數學模型。
為了確定斜齒面上的接觸線位置，采用切片法，將斜齒輪看作由許多薄直齒片體依次轉過一個很小的轉角組成。相鄰直齒片體間對應一個旋轉角Δθ， 取Δθ= Δσ，且θB =NbΔθ，其中，Nb為等分的直齒片體份數，θB為斜齒輪輪齒寬度B對應的旋轉角度。對于端面上某一嚙合點K，假設它的位置參數為(Xi，Yi， Zi，σi，ui)，繞著斜齒輪軸線方向作螺旋運動，轉過jΔθ，得到對應的嚙合點為K1，相應的位置參數為(Xk，Yk， Zk，σk，uk)，根據式(2)有：
從式(3)可知，由端面上的各個嚙合點，利用jΔσ替代jΔθ，得到同一齒面接觸線上任意嚙合點的位置參數。利用這種方法可以獲得一個齒從進入嚙合到退出的任意旋轉位置的接觸線。
二、彈性變形
齒輪軸彎曲及扭轉變形：以主動齒輪為例，基于材料力學理論推導齒輪軸的彎曲及扭轉變形。分析時，將齒輪簡化為直徑為齒根圓直徑的圓柱體，軸為簡單鉸支梁，如圖2所示。若距離輪體左端X0處作用載荷Fn，則在x處引起的彎曲變形為：
式中，wb(X，X0)為由點X0處的載荷Fn在點X處引起的彎曲變形，abxx0為輪體彎曲變形影響系數。根據材料力學中軸的彎曲變形理論推導出計算abxx0的解析表達式為：
當x≤x0時，
式中，E為材料的彈性模量；I1、I2、I3分別為左、右軸段以及輪體的慣性矩；L為兩支撐點間的距離；B為齒輪寬度；a、b為左、右兩端支撐軸長度。
齒輪軸在扭轉載荷作用下將發生一定的扭轉變形，在點x處的扭轉變形為：
式中，alxx0為在點x0處作用載荷時，點x處的扭轉變形影響系數。
式中，G為剪切彈性模量，J1、J2、J3分別為左、右軸段以及輪體的極慣性矩；Fnl為齒輪軸扭轉變形引起的嚙合點角位移轉變為接觸線法向位移的轉換因子。
式中，rk為嚙合點半徑，rb為基圓半徑，αnk為嚙合點法向壓力角，βk為嚙合點螺旋角。
輪齒彎曲及剪切變形：忽略輪齒徑向壓縮變形，輪齒的彎曲及剪切變形采用文獻提出的公式計算：
式中，wp (x，x0)為輪齒的彎曲及剪切總變形；apxx0為輪齒變形影響系數。
式中，f1為載荷作用點的位置因子；f2為載荷作用點與變形影響點間徑向相對位置因子；f3為載荷作用點與變形影響點間軸向相對位置因子；hf為齒頂高；hk為齒根高；rfil為齒根半徑。
赫茲接觸變形：嚙合斜齒輪副的赫茲接觸變形為:
式中，wb1，wb2為主、從動齒輪軸彎曲變形引起的嚙合點位移;wl1，wl2為主、從動齒輪軸扭轉變形引起的齒輪嚙合點位移；wp1，wp2為嚙合點處主、從動齒輪的輪齒彎曲剪切總變形；wh為嚙合齒輪副的赫茲接觸變形。
三、載荷分布計算
載荷計算時，用接觸線段中點坐標表示該直齒片的嚙合點。設由中間點坐標組成的向量為Ig，空載條件下，相互嚙合的兩個齒輪對應嚙合點之間的距離為
施加到每對嚙合點上的載荷為
由施加載荷引起的齒輪變形為
在載荷作用下，一對嚙合點間的總位移為
n為齒片數。齒輪接觸需滿足以下三個約束條件：
1)兼容性條件。在任意嚙合點，初始間隙和彈性變形之和大于或等于齒輪的剛體位移，即：
式中，gi ≧0，為在載荷作用下嚙合點i的分離間隙；δi為齒輪的傳動誤差；aij為施加在j點的載荷對i點的彈性變形影響系數；wi為i點處的總變形；pj為作用在j點的載荷。
2)平衡性條件。作用于各個離散點的分載荷之和必須與作用于主動齒輪的載荷相等，即：
式中，T為作用于主動齒輪的轉矩；rb1為主動齒輪的基圓半徑。
3)接觸條件。參與嚙合的點的載荷大于零，沒有參與嚙合的點的載荷為零，即當gi=0時，Pi >0。當gi>0時， Pi=0。
將上述載荷分布求解問題轉化為下列最優化問題，目標函數為最大剛體位移，采用內點法求解，數學模型為：
式中，A為變形影響系數矩陣，Ap = w；qT為單位向量。
四、斜齒輪副接觸分析
剛性支承軸：按照第三節的斜齒輪載荷分布計算方法，應用MATLAB 軟件編寫計算程序，計算所用斜齒輪基本參數見表1。
接觸線及載荷分布：圖3所示為計算所得的斜齒輪齒面嚙合區域接觸線。從圖中可以看岀，嚙合線是一組傾斜的直線，齒輪從右下端進入嚙合，接觸線漸漸增長，直到輪齒全部參與嚙合，接觸線保持長度不變，之后接觸線逐漸變短，直至輪齒全部退出嚙合區。
圖4所示為瞬時旋轉角度為99°時的時變嚙合線。由圖可知，此時有三對齒輪同時參與嚙合，且每個齒只有部分齒面參與嚙合，其中中間齒上嚙合線較長，兩側輪齒嚙合線較短，總嚙合線長度為30. 45 mm。
圖5所示為旋轉角度為99° ，轉矩為100N·m時齒面接觸線上的載荷分布情況。從圖中可以看岀，各嚙合齒載荷分布不均勻，第一對齒剛進入嚙合狀態，所受載荷較低;中間齒的載荷呈兩端高中間低的分布，第三齒的載荷從端面向內呈單調上升的分布趨勢。
齒輪嚙合剛度：圖6和7所示為主動齒和從動齒單齒嚙合剛度曲線，從圖中可以看出，單齒嚙合剛度隨齒輪轉動角度的增加呈現先增大后減小的趨勢;主動齒的單齒嚙合剛度小于從動齒的嚙合剛度，其中，主、從動齒單齒平均嚙合剛度分別為1.01×108N/m和2. 09x 108N/m；主動齒嚙入和嚙出時的剛度變化斜率與從動齒呈現相反的趨勢。
分別將主、從動齒的單齒嚙合剛度進行疊加，得到主、從動齒綜合嚙合剛度變化曲線，如圖8和9所示。從圖中可以看出，主、從動齒的綜合嚙合剛度隨齒輪轉動角度呈周期性變化，曲線波谷處為雙齒嚙合區域，其余為三齒嚙合區域;主、從動齒的平均綜合嚙合剛度分別為2.96×108N/m和6.02×108N/m。
柔性支承軸：圖10和11所示為考慮支撐軸變形后的主動齒單齒嚙合剛度以及主動齒綜合嚙合剛度，從圖中可以看出，單齒嚙合剛度變化趨勢與剛性軸一致;考慮軸的變形后單齒嚙合剛度明顯下降，單齒平均嚙合剛度及平均綜合嚙合剛度分別為 0.32×108N/m和0.92×108N/m。
圖12所示為柔性支撐軸情況下齒向載荷分布，從圖中可以看出，考慮支撐軸變形后，齒輪兩端的載荷出現了明顯的下降，沿嚙合線的載荷分布較剛性軸均勻。這是因為齒輪嚙合時受到的載荷會通過支撐軸變形的方式進行一定的緩解，從而降低齒輪兩端所受到的載荷沖擊。
支承軸結構參數對齒輪接觸特性的影響：分析時假設主、從動齒輪左右兩端支撐軸長度相同，變化范圍為10~40mm，其中主動軸和從動軸軸長相等;主、從動齒輪軸徑變化范圍分別為20 ~ 50mm和45 ~ 75mm，計算間隔為5mm。
表2所列為主動輪轉角為93.5°，齒輪軸直徑及長度不同時，嚙合齒面最大載荷及載荷分布標準差計算結果，從表中可以看岀，齒輪左右兩端支撐長度越大，直徑越小，齒輪嚙合時最大載荷和載荷分布標準差越小，說明支撐長度增加，直徑減小皆可使齒向載荷分布不均勻性降低。
圖13所示為支承軸長度不變，支承軸直徑改變時主動齒的單齒嚙合剛度，從圖中可以看出，在支承軸長度不變時，隨支撐軸直徑的增大，齒輪嚙合剛度增大。同時單齒嚙合剛度隨齒輪轉角的變化趨勢與剛性軸時的嚙合剛度變化趨勢一致。
圖14所示為軸徑不變，支承軸長度改變時主動齒的單齒嚙合剛度，從圖中可以看出，軸徑不變時，隨支撐軸長度的增加，齒輪嚙合剛度減小，單齒嚙合剛度隨齒輪轉角的變化趨勢不變。
為了分析支撐軸軸徑及長度對嚙合剛度的影響權重，在表1參數基礎上，將支撐軸長度縮短5mm，支撐軸直徑增大 5mm。應用所編MATLAB程序計算齒輪綜合嚙合剛度，結果如圖15所示。從圖中可以看出，直徑增大5mm所增加的剛度比軸長縮短5mm所增加的剛度要大，說明增大齒輪軸直徑比縮短軸的長度對齒輪嚙合剛度的影響更大。
有限元仿真結果：圖16所示為采用三維有限元方法計算得到的斜齒輪載荷分布圖。圖17和18所示分別為中間齒和第三齒上的載荷 分布理論計算結果與仿真結果對比。從圖中可以看出，理論計算結果與有限元仿真結果接近，中間齒理論計算結果與仿真結果的最大差值為32MPa，出現在嚙合線兩端嚙入和嚙出側。第三齒理論計算結果與仿真結果的最大差值為15 MPa，出現在嚙合線中部。出現誤差的原因是本文在計算軸、齒變形時均采用基于一定假設基礎上推導出的理論計算公式，且忽略了輪齒的壓縮變形及軸的剪切變形。
五、結論
1) 基于材料力學理論推導出了齒輪軸彎曲、扭轉變形計算理論公式;基于切片法及線性規劃內點法，對齒輪齒向載荷分布進行了計算，并通過與三維有限元仿真結果比較，驗證了理論分析結果的正確性。
2) 與剛性支承軸相比，考慮軸變形后，齒輪嚙合線上的載荷分布均勻性提高;從齒輪嚙入到嚙出的整個過程中, 單齒嚙合剛度及綜合嚙合剛度明顯下降。
3) 分析了齒輪軸長度、軸徑對斜齒輪齒向載荷分布及嚙合剛度的影響，結果表明，齒輪左右兩端支撐軸的長度增加，軸徑減小皆可使齒輪嚙合剛度降低、齒向載荷分布均勻性提高;與支撐軸長度相比，支撐軸直徑對齒輪載荷分布及嚙合剛度的影響更大。
參考文獻略.