針對現(xiàn)有的S型齒廓修形方法存在的問題，設(shè)計了一種新的齒廓曲線設(shè)計方法。該方法通過使用嚙合矩陣實現(xiàn)共軛點的快速求解，并基于共軛點對齒廓曲線進(jìn)行修形。計算結(jié)果表明，改進(jìn)法設(shè)計下的齒廓相比于傳統(tǒng)S型齒廓具有更小、更均勻的側(cè)隙，嚙合區(qū)間得到增大，傳動誤差有所降低，提高了齒廓的嚙合性能，能夠滿足高精度場合下的使用要求。
諧波減速器具有減速比大、結(jié)構(gòu)簡單、精度高等優(yōu)點，因此被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、航空航天和軍事等對于精度要求較高的領(lǐng)域。目前在嚙合理論方面，主流的方法有基于Willis定理的包絡(luò)法、改進(jìn)運(yùn)動學(xué)法和瞬心線法。在諧波傳動齒廓方面主要出現(xiàn)過直線齒廓、漸開線齒廓、圓弧齒廓及S型齒廓。直線齒廓是諧波傳動的發(fā)明者M(jìn)usser提出的，但該齒形沒有考慮柔輪的變形所引起的位移與轉(zhuǎn)角誤差。漸開線齒廓的研究已趨于成熟，但在諧波運(yùn)動的嚙合過程中由于共軛嚙合區(qū)域較小，且會產(chǎn)生尖點嚙合情況，這些會造成接觸點應(yīng)力的急劇增大，大幅縮短齒廓壽命。圓弧齒廓是目前國內(nèi)研究最多的齒廓齒形，與漸開線齒廓相比，其具有嚙合齒數(shù)多的優(yōu)點， 改善了應(yīng)力狀況與嚙合質(zhì)量，但雙圓弧齒廓的側(cè)隙不均勻，部分區(qū)域存在側(cè)隙較大的情況。S型齒廓由日本學(xué)者Ishikawa等在1989年基于齒條近似法提出，根據(jù)映射關(guān)系可以實現(xiàn)與同類齒廓的連續(xù)接觸。但這類齒廓大多都是在無窮齒數(shù)下的近似設(shè)計，并未考慮實際運(yùn)動過程中的轉(zhuǎn)角影響。基于此，本文綜合考慮了諧波傳動的彈性變形、齒輪偏轉(zhuǎn)角、波發(fā)生器類型等因素，根據(jù)運(yùn)動件的幾何關(guān)系和嚙合矩陣，通過曲線映射的方式得到原始凸齒廓，根據(jù)改進(jìn)法對原始齒廓進(jìn)行修形，接著根據(jù)修形完成的凸齒廓求解兩段凹齒廓，并最終與傳統(tǒng)S型齒廓進(jìn)行對比。
柔輪與剛輪間轉(zhuǎn)角關(guān)系：固定波發(fā)生器坐標(biāo)系，并以波發(fā)生器的回轉(zhuǎn)中心o為原點，長軸為y軸，建立坐標(biāo)系，則波發(fā)生器、柔輪、剛輪之間的運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。
為了方便計算，本文的波發(fā)生器將采用余弦曲線，根據(jù)柔輪中性層的不變形理論，可以將其看作波發(fā)生器的等距曲線，則柔輪中性層曲線在極坐標(biāo)下可以表示為
式中：k為徑向變形系數(shù)，m為模數(shù)，rm為柔輪的中性層半徑。
rm大小可以通過柔輪分度圓半徑求解：
波發(fā)生器裝配后迫使柔輪發(fā)生變形，其中柔輪輪齒的法向轉(zhuǎn)角可以表示為
根據(jù)中性層不伸長理論，其柔輪變形后轉(zhuǎn)過的弧長應(yīng)與未變形前掃過的弧長保持一致，因此有
為了便于計算，因此整理時忽略其高階項，通過計算其一階近似積分可以得到
根據(jù)理論傳動比可以得到
其余的轉(zhuǎn)角關(guān)系可以通過圖1中的幾何關(guān)系可得：
傳動齒廓設(shè)計：根據(jù)齒條近似法原理，當(dāng)剛輪的齒數(shù)無窮大時，此時柔輪將相對于剛輪沿著運(yùn)動軌跡平移。圖2為齒條近似原理圖，其中AB曲線為柔輪相對于剛輪的運(yùn)動軌跡，將A點作為映射的起始點，將B點作為映射的結(jié)束點，按照0.5倍的比例進(jìn)行曲線映射，得到了剛輪凸齒廓BC與柔輪凸齒廓AC，由于曲線映射的關(guān)系，柔輪與剛輪齒廓均保留了運(yùn)動軌跡的特征，即柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓間將實現(xiàn)連續(xù)嚙合。其中柔輪中性層在剛輪坐標(biāo)下的運(yùn)動軌跡AB 的軌跡方程表示為：
由于原始曲線在(-π/2，π/2)內(nèi)的運(yùn)動軌跡存在偏距點，考慮到齒廓間連接的順滑性，因此設(shè)計段內(nèi)不能包含凹凸性突變的情況，因此映射的起始角度ηd應(yīng)取運(yùn)動軌跡二階導(dǎo)數(shù)為0時對應(yīng)的點，假設(shè)偏距點為d，則e為曲線映射的截止點，其角度可以表達(dá)為ηe=arccos(1-2h*a /k)，其中h*a為齒頂高系數(shù)。因此原始剛輪凸齒廓表達(dá)式為：
原始柔輪凸齒廓表達(dá)式為：
傳統(tǒng)齒廓修形：在求解原始齒廓時，做了柔輪與剛輪的齒數(shù)均是無限的假設(shè)，然而在實際運(yùn)動過程中，柔輪齒廓除了沿著運(yùn)動軌跡平移外還存在齒廓本身的旋轉(zhuǎn)角度，因此需要對原始齒廓進(jìn)行修形。根據(jù)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化原則，一開始的原始曲線M是建立在中性層上面的，而柔輪的齒頂相對于剛輪的運(yùn)動軌跡則需要建立在柔輪的分度圓上，因此運(yùn)動軌跡M0需要在原始曲線M的基礎(chǔ)上向上平移一段h。h可以表示為
傳統(tǒng)的修形方法是假設(shè)理想嚙合條件下柔輪齒廓與剛輪齒廓的嚙合點為P，但由于轉(zhuǎn)角影響的存在，柔輪在嚙合點P處沿著N旋轉(zhuǎn)了ζ，從而柔輪與剛輪齒廓將產(chǎn)生干涉，干涉量可以通過嚙合點P的位移PB來表示。如圖4所示，F(xiàn)點為柔輪原始齒廓法線與中心線的交點，由于旋轉(zhuǎn)角度ξ較小，因此點P在轉(zhuǎn)角ξ的影響下產(chǎn)生的位移PB可以用弧長FA代替，其表達(dá)式為
式中，lNF為線段NF的長度。
lNF的表達(dá)式為
式中：(xP，yp )為P點坐標(biāo)，(xN，yN )為N點坐標(biāo)，α為接觸點壓力角。
α的計算公式為
因為ξ較小，于是將上述弧長FA近似看作齒廓x方向上的修型量，將其定義為Δx，將變形量平均分配給剛輪與柔輪，原始曲線的映射初始角為ηd，映射結(jié)束角度為ηe，因此柔輪齒頂輪廓的表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)為：
根據(jù)齒條近似法，柔輪與剛輪的凹齒廓同樣可以通過凸齒廓的映射所得到，但為了保證柔輪與剛輪齒廓嚙合的過程中不產(chǎn)生干涉，要在映射的齒廓上加入間隙調(diào)整量，于是柔輪的凸齒廓表達(dá)式為：
剛輪的凸齒廓表達(dá)式為：
由于映射起始點并不為0，因此凹齒廓與凸齒廓間存在空白區(qū)域，需要通過過渡直線連接，通過剛輪與柔輪兩端齒廓的端點，可以得到過渡直線段表達(dá)式：
式中，(xd1，yd1)和(xd2，yd2)為凸齒廓與凹齒廓表達(dá)式的端點。
傳統(tǒng)的S型齒廓修形方法嚙合區(qū)域較小，且側(cè)隙在嚙和區(qū)間內(nèi)變化較大，難以滿足對精度要高的場合，因此本文提供了一種新的修形方式來解決這些問題。
改進(jìn)法齒廓修形：根據(jù)齒輪嚙合原理中的坐標(biāo)系變換原理，柔輪固定坐標(biāo)系可通過坐標(biāo)系變化矩陣Mcf和底矢變化矩陣Wcf變化到剛輪坐標(biāo)系，其中矩陣Mcf和矩陣Wcf表示為：
而剛輪坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到柔輪坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣Mfc和底矢變換矩陣Wfc分別表示為：
根據(jù)上述表達(dá)的矩陣，我們可以得到柔輪齒廓坐標(biāo)在剛輪固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表達(dá)式為
同樣的剛輪齒廓坐標(biāo)點在柔輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表達(dá)式為
為了分析原始柔輪凸齒廓相對于剛輪的運(yùn)動狀態(tài)，直觀地反映裝配后諧波傳動齒廓的嚙合情況，在將柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓分別轉(zhuǎn)換到各自坐標(biāo)系后使用嚙合矩陣Mcf，得到了圖5所示的(0，π)區(qū)間內(nèi)柔輪的運(yùn)動軌跡圖。
通過boundary函數(shù)查找柔輪運(yùn)動軌跡的邊緣輪廓，通過處理可以得到剛輪的共軛點。將剛輪的共軛齒廓與剛輪的原始齒廓間的差值作為修形量進(jìn)行第一次修形。假設(shè)剛輪的共軛曲線的橫坐標(biāo)為xca1，則修形量可以表示為
那么第一次修形后柔輪齒頂輪廓的表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)式為：
將第一次修形后的柔輪齒廓與剛輪齒廓再次代入嚙合矩陣Mcf中，并再次查看嚙合情況。
我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過第一次修形后剛輪凸齒廓末端嚙合情況較好，而初始端的側(cè)隙較大。這是因為修形時齒廓末端所采用的共軛點是由柔輪凸齒廓末端所構(gòu)成的，因此將此處的修形量均分給2段原始齒廓是合理的。然而初始端的共軛點并非由柔輪原始凸齒廓的初始端所構(gòu)成，因此在此處將其作為修形量不合理。針對這種情況，采取對齒廓進(jìn)行二次修形的方式來降低初始段的側(cè)隙。同樣使用boundary函數(shù)提取出剛輪的共軛點，假設(shè)此時剛輪的共軛曲線的橫坐標(biāo)為xca2 ，則修形量表示為
那么經(jīng)過二次修形后柔輪的齒頂輪廓表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)為：
將二次修形后的柔輪齒廓代入嚙合矩陣Mcf，查看剛輪初始段的側(cè)隙情況。
通過圖7可以看到剛輪初始端依然存在過度修形的情況，但此時上端的側(cè)隙分布已經(jīng)處于0.5μm以下，屬于合理范圍之內(nèi)，故不再對凸齒廓進(jìn)行第三次修形。至此，柔輪與剛輪的凸齒廓修形完畢。根據(jù)修形后的剛輪凸齒廓，通過使用嚙合矩陣 Mfc，采用剛輪包絡(luò)柔輪的方法，計算出剛輪的運(yùn)動軌跡。同樣采用boundary函數(shù)提取柔輪的共軛點，通過這種方式，可以得到與剛輪凸齒廓共軛的柔輪凹齒廓。
用上述的方法同樣可以求解剛輪凹齒廓，基于柔輪的運(yùn)動軌跡，通過柔輪凸齒廓求解剛輪的共軛凹齒廓。
表2為本文齒廓設(shè)計的參數(shù)，下面將對本文提到的兩種平面設(shè)計的齒廓進(jìn)行嚙合性能分析，主要從傳動側(cè)隙、共軛區(qū)域及瞬時傳動比展開分析。
側(cè)隙分析：柔輪的嚙合狀態(tài)的好壞可以大致通過齒廓側(cè)隙這個指標(biāo)來判斷。從側(cè)隙的大小與分布可以初步判斷傳動過程中穩(wěn)定性，齒間載荷分布于是否產(chǎn)生干涉。首先建立側(cè)隙計算模型。通過將齒廓曲線離散成點，求解當(dāng)波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)過一定角度下時，每個柔輪齒廓與剛輪齒廓間的最小距離即為側(cè)隙lfc。
通過圖11的左側(cè)可以看到凸齒廓與凹齒廓間存在空白區(qū)域，這是由于初始映射角非零導(dǎo)致的，因此在最終的齒廓中使用直線過渡段將兩段齒廓連接。因為剛輪與柔輪的凹齒廓是在凸齒廓的基礎(chǔ)上施加間隙調(diào)整量后得到的，因此剛輪與柔輪齒廓在完全嚙合狀態(tài)下間隙均勻穩(wěn)定。
由于通過改進(jìn)法修形后得到的齒廓曲線在凸齒廓頂端存在一定的過度修形，因此在完全嚙合狀態(tài)下兩齒廓的間隙呈現(xiàn)出中間大、兩邊小的趨勢。由于改進(jìn)法的凹齒廓是根據(jù)共軛點求得的，因此沒有明顯的連接空白區(qū)域。
從圖13可以看出，與傳統(tǒng)法相比，改進(jìn)法設(shè)計下的齒廓側(cè)隙整體更小，且更加平穩(wěn)。傳統(tǒng)S型齒廓設(shè)計方法由于凹齒廓是直接由凸齒廓映射所得，因此在嚙合區(qū)整體側(cè)隙偏大，而在嚙入?yún)^(qū)的側(cè)隙則有所下降。由于改進(jìn)法設(shè)計下的S型齒廓在凸齒廓初始端存在一定的過度修形，因此在嚙合區(qū)的側(cè)隙相對于嚙入?yún)^(qū)有所上升，但上升的幅度較小，整體側(cè)隙分布情況趨于穩(wěn)定，在一定程度上提高了回轉(zhuǎn)精度。
嚙合區(qū)域分析：柔輪齒廓與剛輪齒廓的嚙合大致可以分為2個區(qū)域：1)嚙合區(qū)。此時柔輪凸齒廓與剛輪凹齒廓間會產(chǎn)生嚙合，與此同時柔輪凹齒廓與剛輪凸齒廓同樣將發(fā)生接觸。2)嚙入?yún)^(qū)。柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓間在這個區(qū)間內(nèi)將產(chǎn)生嚙合，此區(qū)域也是諧波傳動的主要嚙合區(qū)。因此計算嚙合區(qū)間時需要進(jìn)行分段求解。 兩種修形方法計算出的嚙合區(qū)間如圖14所示。 由于傳統(tǒng)修形法的凹齒廓采用直接映射的方式，因此凸齒廓與凹齒廓在嚙合的過程中不發(fā)生接觸，因此在整個運(yùn)動過程中只有兩段凸齒廓發(fā)生共軛，因此該設(shè)計方法下只有一段嚙合區(qū)間。而改進(jìn)法下的凹齒廓是根據(jù)運(yùn)動軌跡包絡(luò)求得的，因此即使是在嚙合區(qū)內(nèi)也有較好的接觸情況。兩種修形方法均在[9.334°，55.645°]的區(qū)間內(nèi)發(fā)生共軛，而通過改進(jìn)法設(shè)計的柔輪齒廓，在[2.154°，7.18°]區(qū)間實現(xiàn)了兩點共軛，與此同時柔輪的凸齒廓在[2.154°，8.975°]和 [9.334°，55.645°]區(qū)間上分別實現(xiàn)了與剛輪凹齒廓與凸齒廓間的嚙合，實現(xiàn)了二次共軛，證明了改進(jìn)法設(shè)計的齒廓增大了共軛區(qū)域，降低了柔輪嚙合過程中的軸向應(yīng)力，提高了傳動效率，使得傳動更加可靠，在一定程度上延長了減速器的使用壽命。
瞬時傳動比：通過平均積分角速度求得的傳動比只能從宏觀角度上描述諧波減速器的運(yùn)動狀況，但實際上諧波減速器的瞬時傳動比是變化的。瞬時傳動比的波動會直接影響減速器運(yùn)行的穩(wěn)定性，而傳動比誤差既來源于中性層曲線的形狀也取決于齒廓曲線。如圖15所示，當(dāng)波發(fā)生器固定時，若柔輪非變形端以恒定角速度ω1回轉(zhuǎn)，則在變形端上的點c將以瞬時角速度ω1c圍繞中性層曲線在c點處的曲率中心os 回轉(zhuǎn)，由于線速度相等，故有
若剛輪的角速度設(shè)為ω2，此時的瞬時傳動比將表示為
其中，i為理論傳動比，其大小為
根據(jù)Willis定理，若兩齒廓的接觸點為k，則經(jīng)過k點的公法線與瞬時回轉(zhuǎn)中心連接線oos的交點p就是瞬時嚙合節(jié)點。故嚙合節(jié)點的瞬時傳動比可以表示為
因為兩種修形方法均采用相同的中性層曲線，故原始曲線誤差相同。通過式(34)和式(36)可以發(fā)現(xiàn)瞬時傳動比的波動幅度在一定程度上與瞬時曲率中心直接關(guān)聯(lián)，通過計算發(fā)現(xiàn)中性層半徑越大，徑向變形量越小，瞬時傳動比就越趨于穩(wěn)定。
由于諧波減速器多齒嚙合的特性，其傳動誤差將會被均化，因此對求解得到的瞬時傳動比曲線積分后進(jìn)行疊加。計算后發(fā)現(xiàn)改進(jìn)法設(shè)計下的齒廓傳動誤差為3.96%，而傳統(tǒng)修S型齒廓誤差為3.962%。相對于傳統(tǒng)S型齒廓，改進(jìn)法設(shè)計下的齒廓傳動誤差略有降低，性能提升了約0.05%，這也意味著齒廓曲線對于瞬時傳動比的影響較小。同時在誤差曲線積分時發(fā)現(xiàn)，嚙合齒數(shù)也是影響傳動誤差的關(guān)鍵因素。隨著嚙合齒數(shù)的增加，原始曲線的誤差將逐漸趨向于0，此時傳動誤差將主要體現(xiàn)為齒廓曲線誤差，整體的傳動誤差將得到明顯的降低。
本文提出了一種區(qū)別于傳統(tǒng)S型齒廓設(shè)計的方法。與傳統(tǒng)S型齒廓相比，改進(jìn)法設(shè)計的S型齒廓具有側(cè)隙更小、共軛區(qū)間更大、傳動誤差更小的特點，可以滿足高精度場合下的使用要求。由于柔輪的軌跡曲線存在偏距，為了保證齒廓曲線連接的順滑性，齒廓的映射設(shè)區(qū)域應(yīng)不包含曲線上凹凸性突變的點，即映射起點應(yīng)為運(yùn)動軌跡二階導(dǎo)數(shù)為0的點，且為了保證原始齒廓有足夠的映射區(qū)域與齒廓間的平滑連接，變形系數(shù)k的取值范圍應(yīng)在[0.9，1.1]內(nèi)。齒廓的類型對瞬時傳動比的影響較小，而中性層曲線的類型，中性層半徑與徑向變形量對瞬時傳動比的影響較大，在設(shè)計時應(yīng)優(yōu)先考慮大半徑、小變形量的設(shè)計方案。
作業(yè)來說，精度較高，所以該控制器可實現(xiàn)良好的軌跡跟蹤控制。
本文針對飛機(jī)牽引系統(tǒng)的自動控制問題進(jìn)行研究，設(shè)計了基于Fareh控制策略的非線性控制器，通過控制牽引點的速度大小與方向來實現(xiàn)飛機(jī)的軌跡跟蹤與姿態(tài)調(diào)節(jié)。通過MATLAB/Simscape對系統(tǒng)進(jìn)行仿真模擬，驗證了所設(shè)計控制器的可行性。
參考文獻(xiàn)：略。
0 引言
諧波減速器具有減速比大、結(jié)構(gòu)簡單、精度高等優(yōu)點，因此被廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、航空航天和軍事等對于精度要求較高的領(lǐng)域。目前在嚙合理論方面，主流的方法有基于Willis定理的包絡(luò)法、改進(jìn)運(yùn)動學(xué)法和瞬心線法。在諧波傳動齒廓方面主要出現(xiàn)過直線齒廓、漸開線齒廓、圓弧齒廓及S型齒廓。直線齒廓是諧波傳動的發(fā)明者M(jìn)usser提出的，但該齒形沒有考慮柔輪的變形所引起的位移與轉(zhuǎn)角誤差。漸開線齒廓的研究已趨于成熟，但在諧波運(yùn)動的嚙合過程中由于共軛嚙合區(qū)域較小，且會產(chǎn)生尖點嚙合情況，這些會造成接觸點應(yīng)力的急劇增大，大幅縮短齒廓壽命。圓弧齒廓是目前國內(nèi)研究最多的齒廓齒形，與漸開線齒廓相比，其具有嚙合齒數(shù)多的優(yōu)點， 改善了應(yīng)力狀況與嚙合質(zhì)量，但雙圓弧齒廓的側(cè)隙不均勻，部分區(qū)域存在側(cè)隙較大的情況。S型齒廓由日本學(xué)者Ishikawa等在1989年基于齒條近似法提出，根據(jù)映射關(guān)系可以實現(xiàn)與同類齒廓的連續(xù)接觸。但這類齒廓大多都是在無窮齒數(shù)下的近似設(shè)計，并未考慮實際運(yùn)動過程中的轉(zhuǎn)角影響。基于此，本文綜合考慮了諧波傳動的彈性變形、齒輪偏轉(zhuǎn)角、波發(fā)生器類型等因素，根據(jù)運(yùn)動件的幾何關(guān)系和嚙合矩陣，通過曲線映射的方式得到原始凸齒廓，根據(jù)改進(jìn)法對原始齒廓進(jìn)行修形，接著根據(jù)修形完成的凸齒廓求解兩段凹齒廓，并最終與傳統(tǒng)S型齒廓進(jìn)行對比。
1 S型齒的齒廓設(shè)計
柔輪與剛輪間轉(zhuǎn)角關(guān)系：固定波發(fā)生器坐標(biāo)系，并以波發(fā)生器的回轉(zhuǎn)中心o為原點，長軸為y軸，建立坐標(biāo)系，則波發(fā)生器、柔輪、剛輪之間的運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。
式中：k為徑向變形系數(shù)，m為模數(shù)，rm為柔輪的中性層半徑。
rm大小可以通過柔輪分度圓半徑求解：
波發(fā)生器裝配后迫使柔輪發(fā)生變形，其中柔輪輪齒的法向轉(zhuǎn)角可以表示為
根據(jù)中性層不伸長理論，其柔輪變形后轉(zhuǎn)過的弧長應(yīng)與未變形前掃過的弧長保持一致，因此有
為了便于計算，因此整理時忽略其高階項，通過計算其一階近似積分可以得到
根據(jù)理論傳動比可以得到
其余的轉(zhuǎn)角關(guān)系可以通過圖1中的幾何關(guān)系可得：
表1 諧波傳動各角度參數(shù)含義
傳動齒廓設(shè)計：根據(jù)齒條近似法原理，當(dāng)剛輪的齒數(shù)無窮大時，此時柔輪將相對于剛輪沿著運(yùn)動軌跡平移。圖2為齒條近似原理圖，其中AB曲線為柔輪相對于剛輪的運(yùn)動軌跡，將A點作為映射的起始點，將B點作為映射的結(jié)束點，按照0.5倍的比例進(jìn)行曲線映射，得到了剛輪凸齒廓BC與柔輪凸齒廓AC，由于曲線映射的關(guān)系，柔輪與剛輪齒廓均保留了運(yùn)動軌跡的特征，即柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓間將實現(xiàn)連續(xù)嚙合。其中柔輪中性層在剛輪坐標(biāo)下的運(yùn)動軌跡AB 的軌跡方程表示為：
由于原始曲線在(-π/2，π/2)內(nèi)的運(yùn)動軌跡存在偏距點，考慮到齒廓間連接的順滑性，因此設(shè)計段內(nèi)不能包含凹凸性突變的情況，因此映射的起始角度ηd應(yīng)取運(yùn)動軌跡二階導(dǎo)數(shù)為0時對應(yīng)的點，假設(shè)偏距點為d，則e為曲線映射的截止點，其角度可以表達(dá)為ηe=arccos(1-2h*a /k)，其中h*a為齒頂高系數(shù)。因此原始剛輪凸齒廓表達(dá)式為：
原始柔輪凸齒廓表達(dá)式為：
2 齒廓修形
傳統(tǒng)齒廓修形：在求解原始齒廓時，做了柔輪與剛輪的齒數(shù)均是無限的假設(shè)，然而在實際運(yùn)動過程中，柔輪齒廓除了沿著運(yùn)動軌跡平移外還存在齒廓本身的旋轉(zhuǎn)角度，因此需要對原始齒廓進(jìn)行修形。根據(jù)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化原則，一開始的原始曲線M是建立在中性層上面的，而柔輪的齒頂相對于剛輪的運(yùn)動軌跡則需要建立在柔輪的分度圓上，因此運(yùn)動軌跡M0需要在原始曲線M的基礎(chǔ)上向上平移一段h。h可以表示為
傳統(tǒng)的修形方法是假設(shè)理想嚙合條件下柔輪齒廓與剛輪齒廓的嚙合點為P，但由于轉(zhuǎn)角影響的存在，柔輪在嚙合點P處沿著N旋轉(zhuǎn)了ζ，從而柔輪與剛輪齒廓將產(chǎn)生干涉，干涉量可以通過嚙合點P的位移PB來表示。如圖4所示，F(xiàn)點為柔輪原始齒廓法線與中心線的交點，由于旋轉(zhuǎn)角度ξ較小，因此點P在轉(zhuǎn)角ξ的影響下產(chǎn)生的位移PB可以用弧長FA代替，其表達(dá)式為
式中，lNF為線段NF的長度。
lNF的表達(dá)式為
式中：(xP，yp )為P點坐標(biāo)，(xN，yN )為N點坐標(biāo)，α為接觸點壓力角。
α的計算公式為
因為ξ較小，于是將上述弧長FA近似看作齒廓x方向上的修型量，將其定義為Δx，將變形量平均分配給剛輪與柔輪，原始曲線的映射初始角為ηd，映射結(jié)束角度為ηe，因此柔輪齒頂輪廓的表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)為：
根據(jù)齒條近似法，柔輪與剛輪的凹齒廓同樣可以通過凸齒廓的映射所得到，但為了保證柔輪與剛輪齒廓嚙合的過程中不產(chǎn)生干涉，要在映射的齒廓上加入間隙調(diào)整量，于是柔輪的凸齒廓表達(dá)式為：
剛輪的凸齒廓表達(dá)式為：
由于映射起始點并不為0，因此凹齒廓與凸齒廓間存在空白區(qū)域，需要通過過渡直線連接，通過剛輪與柔輪兩端齒廓的端點，可以得到過渡直線段表達(dá)式：
式中，(xd1，yd1)和(xd2，yd2)為凸齒廓與凹齒廓表達(dá)式的端點。
傳統(tǒng)的S型齒廓修形方法嚙合區(qū)域較小，且側(cè)隙在嚙和區(qū)間內(nèi)變化較大，難以滿足對精度要高的場合，因此本文提供了一種新的修形方式來解決這些問題。
改進(jìn)法齒廓修形：根據(jù)齒輪嚙合原理中的坐標(biāo)系變換原理，柔輪固定坐標(biāo)系可通過坐標(biāo)系變化矩陣Mcf和底矢變化矩陣Wcf變化到剛輪坐標(biāo)系，其中矩陣Mcf和矩陣Wcf表示為：
而剛輪坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到柔輪坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換矩陣Mfc和底矢變換矩陣Wfc分別表示為：
根據(jù)上述表達(dá)的矩陣，我們可以得到柔輪齒廓坐標(biāo)在剛輪固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表達(dá)式為
同樣的剛輪齒廓坐標(biāo)點在柔輪坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表達(dá)式為
為了分析原始柔輪凸齒廓相對于剛輪的運(yùn)動狀態(tài)，直觀地反映裝配后諧波傳動齒廓的嚙合情況，在將柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓分別轉(zhuǎn)換到各自坐標(biāo)系后使用嚙合矩陣Mcf，得到了圖5所示的(0，π)區(qū)間內(nèi)柔輪的運(yùn)動軌跡圖。
通過boundary函數(shù)查找柔輪運(yùn)動軌跡的邊緣輪廓，通過處理可以得到剛輪的共軛點。將剛輪的共軛齒廓與剛輪的原始齒廓間的差值作為修形量進(jìn)行第一次修形。假設(shè)剛輪的共軛曲線的橫坐標(biāo)為xca1，則修形量可以表示為
那么第一次修形后柔輪齒頂輪廓的表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)式為：
將第一次修形后的柔輪齒廓與剛輪齒廓再次代入嚙合矩陣Mcf中，并再次查看嚙合情況。
我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過第一次修形后剛輪凸齒廓末端嚙合情況較好，而初始端的側(cè)隙較大。這是因為修形時齒廓末端所采用的共軛點是由柔輪凸齒廓末端所構(gòu)成的，因此將此處的修形量均分給2段原始齒廓是合理的。然而初始端的共軛點并非由柔輪原始凸齒廓的初始端所構(gòu)成，因此在此處將其作為修形量不合理。針對這種情況，采取對齒廓進(jìn)行二次修形的方式來降低初始段的側(cè)隙。同樣使用boundary函數(shù)提取出剛輪的共軛點，假設(shè)此時剛輪的共軛曲線的橫坐標(biāo)為xca2 ，則修形量表示為
那么經(jīng)過二次修形后柔輪的齒頂輪廓表達(dá)式為：
剛輪的齒頂輪廓表達(dá)為：
將二次修形后的柔輪齒廓代入嚙合矩陣Mcf，查看剛輪初始段的側(cè)隙情況。
通過圖7可以看到剛輪初始端依然存在過度修形的情況，但此時上端的側(cè)隙分布已經(jīng)處于0.5μm以下，屬于合理范圍之內(nèi)，故不再對凸齒廓進(jìn)行第三次修形。至此，柔輪與剛輪的凸齒廓修形完畢。根據(jù)修形后的剛輪凸齒廓，通過使用嚙合矩陣 Mfc，采用剛輪包絡(luò)柔輪的方法，計算出剛輪的運(yùn)動軌跡。同樣采用boundary函數(shù)提取柔輪的共軛點，通過這種方式，可以得到與剛輪凸齒廓共軛的柔輪凹齒廓。
用上述的方法同樣可以求解剛輪凹齒廓，基于柔輪的運(yùn)動軌跡，通過柔輪凸齒廓求解剛輪的共軛凹齒廓。
表2 齒形設(shè)計與修形相關(guān)參數(shù)
表2為本文齒廓設(shè)計的參數(shù)，下面將對本文提到的兩種平面設(shè)計的齒廓進(jìn)行嚙合性能分析，主要從傳動側(cè)隙、共軛區(qū)域及瞬時傳動比展開分析。
3 齒廓分析
側(cè)隙分析：柔輪的嚙合狀態(tài)的好壞可以大致通過齒廓側(cè)隙這個指標(biāo)來判斷。從側(cè)隙的大小與分布可以初步判斷傳動過程中穩(wěn)定性，齒間載荷分布于是否產(chǎn)生干涉。首先建立側(cè)隙計算模型。通過將齒廓曲線離散成點，求解當(dāng)波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)過一定角度下時，每個柔輪齒廓與剛輪齒廓間的最小距離即為側(cè)隙lfc。
由于通過改進(jìn)法修形后得到的齒廓曲線在凸齒廓頂端存在一定的過度修形，因此在完全嚙合狀態(tài)下兩齒廓的間隙呈現(xiàn)出中間大、兩邊小的趨勢。由于改進(jìn)法的凹齒廓是根據(jù)共軛點求得的，因此沒有明顯的連接空白區(qū)域。
從圖13可以看出，與傳統(tǒng)法相比，改進(jìn)法設(shè)計下的齒廓側(cè)隙整體更小，且更加平穩(wěn)。傳統(tǒng)S型齒廓設(shè)計方法由于凹齒廓是直接由凸齒廓映射所得，因此在嚙合區(qū)整體側(cè)隙偏大，而在嚙入?yún)^(qū)的側(cè)隙則有所下降。由于改進(jìn)法設(shè)計下的S型齒廓在凸齒廓初始端存在一定的過度修形，因此在嚙合區(qū)的側(cè)隙相對于嚙入?yún)^(qū)有所上升，但上升的幅度較小，整體側(cè)隙分布情況趨于穩(wěn)定，在一定程度上提高了回轉(zhuǎn)精度。
嚙合區(qū)域分析：柔輪齒廓與剛輪齒廓的嚙合大致可以分為2個區(qū)域：1)嚙合區(qū)。此時柔輪凸齒廓與剛輪凹齒廓間會產(chǎn)生嚙合，與此同時柔輪凹齒廓與剛輪凸齒廓同樣將發(fā)生接觸。2)嚙入?yún)^(qū)。柔輪凸齒廓與剛輪凸齒廓間在這個區(qū)間內(nèi)將產(chǎn)生嚙合，此區(qū)域也是諧波傳動的主要嚙合區(qū)。因此計算嚙合區(qū)間時需要進(jìn)行分段求解。 兩種修形方法計算出的嚙合區(qū)間如圖14所示。 由于傳統(tǒng)修形法的凹齒廓采用直接映射的方式，因此凸齒廓與凹齒廓在嚙合的過程中不發(fā)生接觸，因此在整個運(yùn)動過程中只有兩段凸齒廓發(fā)生共軛，因此該設(shè)計方法下只有一段嚙合區(qū)間。而改進(jìn)法下的凹齒廓是根據(jù)運(yùn)動軌跡包絡(luò)求得的，因此即使是在嚙合區(qū)內(nèi)也有較好的接觸情況。兩種修形方法均在[9.334°，55.645°]的區(qū)間內(nèi)發(fā)生共軛，而通過改進(jìn)法設(shè)計的柔輪齒廓，在[2.154°，7.18°]區(qū)間實現(xiàn)了兩點共軛，與此同時柔輪的凸齒廓在[2.154°，8.975°]和 [9.334°，55.645°]區(qū)間上分別實現(xiàn)了與剛輪凹齒廓與凸齒廓間的嚙合，實現(xiàn)了二次共軛，證明了改進(jìn)法設(shè)計的齒廓增大了共軛區(qū)域，降低了柔輪嚙合過程中的軸向應(yīng)力，提高了傳動效率，使得傳動更加可靠，在一定程度上延長了減速器的使用壽命。
瞬時傳動比：通過平均積分角速度求得的傳動比只能從宏觀角度上描述諧波減速器的運(yùn)動狀況，但實際上諧波減速器的瞬時傳動比是變化的。瞬時傳動比的波動會直接影響減速器運(yùn)行的穩(wěn)定性，而傳動比誤差既來源于中性層曲線的形狀也取決于齒廓曲線。如圖15所示，當(dāng)波發(fā)生器固定時，若柔輪非變形端以恒定角速度ω1回轉(zhuǎn)，則在變形端上的點c將以瞬時角速度ω1c圍繞中性層曲線在c點處的曲率中心os 回轉(zhuǎn)，由于線速度相等，故有
其中，i為理論傳動比，其大小為
根據(jù)Willis定理，若兩齒廓的接觸點為k，則經(jīng)過k點的公法線與瞬時回轉(zhuǎn)中心連接線oos的交點p就是瞬時嚙合節(jié)點。故嚙合節(jié)點的瞬時傳動比可以表示為
因為兩種修形方法均采用相同的中性層曲線，故原始曲線誤差相同。通過式(34)和式(36)可以發(fā)現(xiàn)瞬時傳動比的波動幅度在一定程度上與瞬時曲率中心直接關(guān)聯(lián)，通過計算發(fā)現(xiàn)中性層半徑越大，徑向變形量越小，瞬時傳動比就越趨于穩(wěn)定。
由于諧波減速器多齒嚙合的特性，其傳動誤差將會被均化，因此對求解得到的瞬時傳動比曲線積分后進(jìn)行疊加。計算后發(fā)現(xiàn)改進(jìn)法設(shè)計下的齒廓傳動誤差為3.96%，而傳統(tǒng)修S型齒廓誤差為3.962%。相對于傳統(tǒng)S型齒廓，改進(jìn)法設(shè)計下的齒廓傳動誤差略有降低，性能提升了約0.05%，這也意味著齒廓曲線對于瞬時傳動比的影響較小。同時在誤差曲線積分時發(fā)現(xiàn)，嚙合齒數(shù)也是影響傳動誤差的關(guān)鍵因素。隨著嚙合齒數(shù)的增加，原始曲線的誤差將逐漸趨向于0，此時傳動誤差將主要體現(xiàn)為齒廓曲線誤差，整體的傳動誤差將得到明顯的降低。
4 結(jié)論
本文提出了一種區(qū)別于傳統(tǒng)S型齒廓設(shè)計的方法。與傳統(tǒng)S型齒廓相比，改進(jìn)法設(shè)計的S型齒廓具有側(cè)隙更小、共軛區(qū)間更大、傳動誤差更小的特點，可以滿足高精度場合下的使用要求。由于柔輪的軌跡曲線存在偏距，為了保證齒廓曲線連接的順滑性，齒廓的映射設(shè)區(qū)域應(yīng)不包含曲線上凹凸性突變的點，即映射起點應(yīng)為運(yùn)動軌跡二階導(dǎo)數(shù)為0的點，且為了保證原始齒廓有足夠的映射區(qū)域與齒廓間的平滑連接，變形系數(shù)k的取值范圍應(yīng)在[0.9，1.1]內(nèi)。齒廓的類型對瞬時傳動比的影響較小，而中性層曲線的類型，中性層半徑與徑向變形量對瞬時傳動比的影響較大，在設(shè)計時應(yīng)優(yōu)先考慮大半徑、小變形量的設(shè)計方案。
作業(yè)來說，精度較高，所以該控制器可實現(xiàn)良好的軌跡跟蹤控制。
4 結(jié)語
本文針對飛機(jī)牽引系統(tǒng)的自動控制問題進(jìn)行研究，設(shè)計了基于Fareh控制策略的非線性控制器，通過控制牽引點的速度大小與方向來實現(xiàn)飛機(jī)的軌跡跟蹤與姿態(tài)調(diào)節(jié)。通過MATLAB/Simscape對系統(tǒng)進(jìn)行仿真模擬，驗證了所設(shè)計控制器的可行性。
參考文獻(xiàn)：略。