編者按：

      各位粉絲朋友們，歡迎閱讀本期小編推送的《汽車驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪齒面測(cè)量誤差補(bǔ)償方法》文章。文章主要介紹了提升汽車驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪齒面加工質(zhì)量對(duì)整車的安全與節(jié)能性能有重要意義。

      該文針對(duì)汽車驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪實(shí)測(cè)和理論齒面存在的測(cè)量誤差，提出了一種基于對(duì)偶四元數(shù)優(yōu)化的迭代最近點(diǎn)(ICP)齒面測(cè)量誤差補(bǔ)償方法。

      本篇文章因篇幅較長(zhǎng)，特安排兩期推送。

      本期推出：汽車驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪齒面測(cè)量誤差補(bǔ)償方法(一)

      提升汽車驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪齒面加工質(zhì)量對(duì)整車的安全與節(jié)能性能有重要意義，該文針對(duì)汽車驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪實(shí)測(cè)和理論齒面存在的測(cè)量誤差，提出了一種基于對(duì)偶四元數(shù)優(yōu)化的迭代最近點(diǎn)(ICP)齒面測(cè)量誤差補(bǔ)償方法。將誤差補(bǔ)償問題轉(zhuǎn)化為兩曲面的配準(zhǔn)問題，利用對(duì)偶四元數(shù)對(duì)齒面配準(zhǔn)模型進(jìn)行表示并得出誤差矩陣，將誤差矩陣線性化并使用凸松弛的全局優(yōu)化算法對(duì)其實(shí)部進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪齒面的精確配準(zhǔn)。結(jié)果表明：螺旋錐齒輪凹齒面的誤差補(bǔ)償率最高達(dá)77%，最大誤差由補(bǔ)償前的22.11μm降至5.64μm，平均誤差由補(bǔ)償前的10.34μm降至2.38μm，該算法與傳統(tǒng)奇異值分解法(SVD)、四元數(shù)法和Levenberg-Marquardt 法(L-M)相比有更高的求解精度和穩(wěn)定性，證明所提出的補(bǔ)償方法具有可行性。

      螺旋錐齒輪是機(jī)械設(shè)備中關(guān)鍵基礎(chǔ)元件之一，廣泛應(yīng)用于汽車、造船、工程機(jī)械、建筑機(jī)械和交通運(yùn)輸機(jī)械等領(lǐng)域。汽車驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪齒面的加工質(zhì)量直接影響主減速器齒輪傳動(dòng)的噪聲、齒輪壽命以及傳遞效率等，進(jìn)而影響到汽車的質(zhì)量和安全性能。精確的齒面測(cè)量和誤差補(bǔ)償可以顯著提高齒輪的嚙合質(zhì)量，減少能量損失，提升傳動(dòng)效率，降低燃油消耗，促進(jìn)汽車節(jié)能。因此，對(duì)驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪齒面測(cè)量誤差進(jìn)行分析和補(bǔ)償具有重要意義。

      在齒輪測(cè)量機(jī)測(cè)量汽車驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪齒面的過程中，回轉(zhuǎn)軸傾斜和大端端面加工誤差等多種因素導(dǎo)致理論齒面與實(shí)測(cè)齒面存在偏差。韓連福等分析了齒輪測(cè)量機(jī)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，由拓?fù)浣Y(jié)果采用多體系統(tǒng)理論建立了齒輪測(cè)量機(jī)幾何誤差補(bǔ)償模型。邢元等提出一種基于歐式線性空間的軟件誤差補(bǔ)償方法，通過 二級(jí)補(bǔ)償機(jī)制有效提高齒面加工精度。宋碧云等基于改進(jìn)的levenberg-marquardt法(levenberg-marquardt，L-M) 并選取敏感性較高的加工參數(shù)對(duì)螺旋錐齒輪齒面誤差進(jìn)行補(bǔ)償。硬件補(bǔ)償方法成本高且零件測(cè)量時(shí)出現(xiàn)的誤差是不可避免的，軟件補(bǔ)償方法是現(xiàn)在的主流方法，但目前存在計(jì)算強(qiáng)度大、迭代不收斂以及誤差補(bǔ)償不夠精確等問題。目前最常用的齒面配準(zhǔn)方法是迭代最近點(diǎn)算法 (iterative closest point，ICP)，其實(shí)質(zhì)是基于最小二乘法，將最近點(diǎn)迭代并通過更新兩組曲面數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)兩齒面的精確配準(zhǔn)。LIU Yongsheng等用阻尼Gauss-Newton法代ICP算法中奇異值分解法(singular value decomposition，SVD)來求解幾何變換矩陣，有效實(shí)現(xiàn)了測(cè)量齒面向理論齒面的配準(zhǔn)補(bǔ)償，但其容易陷入局部最優(yōu)解。ZHOU Lihua等提出了一種匹配點(diǎn)搜索方法，解決了測(cè)量齒面與理論齒面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但其空間復(fù)雜度和時(shí)間復(fù)雜度較高。XIE He等提出了基于點(diǎn)到球面配準(zhǔn)的最近鄰精細(xì)配準(zhǔn)算法，將配準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問題，利用Taylor展開式求解配準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)，但其需要選擇適當(dāng)?shù)某跏紖?shù)。

      為解決現(xiàn)有齒面測(cè)量誤差補(bǔ)償方法存在的問題并實(shí)現(xiàn)理論齒面與實(shí)際齒面偏差的補(bǔ)償，本文首先進(jìn)行兩齒面之間的配準(zhǔn);針對(duì)現(xiàn)有齒面誤差補(bǔ)償方法和ICP算法的局限性，利用對(duì)偶四元數(shù)在同時(shí)處理旋轉(zhuǎn)和平移變換中的優(yōu)勢(shì)，提出一種基于對(duì)偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代誤差補(bǔ)償算法，以解決傳統(tǒng)ICP方法容易陷入局部最優(yōu)解的問題;利用對(duì)偶四元數(shù)獲取誤差矩陣，將誤差矩陣線性化并進(jìn)行凸松弛優(yōu)化，以此提高齒面配準(zhǔn)的精度和穩(wěn)定性;最后通過實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文提出算法的有效性。

      1螺旋錐齒輪齒面測(cè)量誤差分析

      汽車驅(qū)動(dòng)橋由螺旋錐齒輪、差速器、車輪傳動(dòng)裝置等關(guān)鍵部件組成，作為汽車傳遞動(dòng)力的關(guān)鍵組件，其性能和可靠性直接影響整車的動(dòng)力表現(xiàn)和行駛安全性。 驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪齒面測(cè)量誤差為實(shí)際測(cè)量齒面與理論齒面之間存在的偏差。如圖1所示，在齒輪軸上建立理論坐標(biāo)系 {O: X, Y, Z}，螺旋錐齒輪齒面任意 理論測(cè)量點(diǎn)Pi與其對(duì)應(yīng)的實(shí)際測(cè)量點(diǎn)Q_i之間的差即為該點(diǎn)齒面偏差δ_i。當(dāng)測(cè)頭到達(dá)預(yù)設(shè)測(cè)量位置時(shí)，實(shí)際測(cè)頭球心C'_i與實(shí)測(cè)點(diǎn)Q_i都在法向量n_i方向上，齒面與測(cè)頭的接觸點(diǎn)Q_i處于法線方向n_Q上，Q_i點(diǎn)到P_i點(diǎn)的距離等于實(shí)際測(cè)頭球心C'_i與理論測(cè)頭球心C_i之間的距離d_i。
      在實(shí)際測(cè)量中，螺旋錐齒輪齒面是連續(xù)光滑曲面，偏心和傾角誤差導(dǎo)致被測(cè)齒面與理論齒面不一致，接觸點(diǎn)處的法線方向與齒面法線方向并不完全一致。如圖2所示，實(shí)際測(cè)頭球心與實(shí)際接觸點(diǎn)Q_i不在n_i上，接觸點(diǎn)法向n_Q與n_i也不在同一方向上。理想接觸點(diǎn)P_i與實(shí)際接觸點(diǎn)Q_i有一定距離，此時(shí)齒面偏差δ_i為點(diǎn)P_i到點(diǎn)Q_i的距離。
      由幾何關(guān)系可知：AB與BE的和為測(cè)頭半徑，由于CNC齒輪測(cè)量機(jī)的測(cè)頭半徑很小，E與P_i的距離非常近，所以PiF的距離近似等于AB的距離，則此時(shí)δ_i的值可以用式 (1) 近似表示：
      其中：d_i為實(shí)測(cè)球心與理論球心之間的距離;ni為理論齒面的法向量。

      設(shè)理論齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)集為P，由{P₁, P₂, ?P_n} 構(gòu)成，實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)集為Q，由{Q₁, Q₂, ?Q_n} 構(gòu)成，齒輪的實(shí)測(cè)齒面測(cè)量點(diǎn)Q_i可以由理論齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)P_i 、齒面偏差δ_i和法向量n_i表示，如式 (2) 所示：
      為了減小甚至消除實(shí)測(cè)齒面與理論齒面之間的偏差，需要實(shí)現(xiàn)理論齒面與實(shí)測(cè)齒面的精確配準(zhǔn)，利用配準(zhǔn)結(jié)果實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪的齒面誤差補(bǔ)償。

      2傳統(tǒng)對(duì)偶四元數(shù)算法及齒面配準(zhǔn)模型

      對(duì)偶四元數(shù)的形式與性質(zhì)：對(duì)偶四元數(shù)表征旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量的方式與傳統(tǒng)方式不同，它們之間存在一定的數(shù)學(xué)關(guān)系。理論點(diǎn)構(gòu)成的坐標(biāo)系O和實(shí)際測(cè)量點(diǎn)構(gòu)成的坐標(biāo)系S之間的變換關(guān)系可以近似地通過一個(gè)平移矢量和一個(gè)單位四元數(shù)來表示，也可以采用一個(gè)更加緊湊和簡(jiǎn)潔的方式來表示，即單位對(duì)偶四元數(shù)，如式 (3) 所示：
      其中：q_O/S, R為對(duì)偶四元數(shù)的實(shí)部;q_O/S, T為對(duì)偶四元數(shù)的對(duì)偶部;ε是一個(gè)與實(shí)數(shù)域R垂直的維度單位長(zhǎng)度，它滿足ε2=0 ;M1O/S=(0, M1O/S) 代表理論坐標(biāo)系O的原點(diǎn)到實(shí)測(cè)坐標(biāo)系S的原點(diǎn)之間的矢量。式(3)也可以簡(jiǎn)潔表示為式(4)：
      其中：r和s是q的實(shí)部和對(duì)偶部，且r=r₁+r_2i+r_3j+r_4k，s= s1+s_2i+s_3j+s_4k ;單位對(duì)偶四元數(shù)滿足單位性和正交性。任意四元數(shù)p和q相乘可以通過矩陣U(p)和W(q)來表示，如式(5) 所示：
      其中，矩陣U(p)和W(q)分別是四元數(shù)p和q的四元數(shù)矩陣，且U(p)稱為W(q)的蛻變矩陣，具體值如式(6)所示：
      其中：C(p)為偏對(duì)稱矩陣，也稱為反對(duì)稱矩陣，
      齒面配準(zhǔn)模型：驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪齒面的誤差補(bǔ)償數(shù)學(xué)模型本質(zhì)上是三維空間曲面的相似變換，齒面理論測(cè)量點(diǎn)集P的空間變換用旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T表示，經(jīng)過空間變換得到點(diǎn)集Q'，如式(7)所示：
      其中，T是由平移向量t構(gòu)成的矩陣。

      點(diǎn)集Q'與實(shí)測(cè)點(diǎn)集Q的差值即為誤差矩陣E，如式(8)所示：
      傳統(tǒng)方法選擇距離較大的對(duì)應(yīng)點(diǎn)通過奇異分解 (SVD) 方式獲得變換矩陣R、T。首先根據(jù)參與求解的理論與實(shí)際點(diǎn)云的質(zhì)心構(gòu)造分解矩陣，將其進(jìn)行SVD分解，將矩陣正交對(duì)角化分解得到2個(gè)特征向量矩陣，最后求解得到旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T。由于螺旋錐齒輪齒面理論點(diǎn)云與測(cè)量點(diǎn)云之間的誤差較小且一一對(duì)應(yīng)，不存在噪音點(diǎn)，不需要進(jìn)行控制點(diǎn)的選取過程，且不需要對(duì)最近點(diǎn)進(jìn)行搜索，可采用定向點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的精配準(zhǔn)方式，如圖3所示。
      3對(duì)偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代算法

      基于對(duì)偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代誤差補(bǔ)償算法是以對(duì)偶四元數(shù)的形式將齒面配準(zhǔn)方程分解為旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣2部分，獲取誤差矩陣方程并建立新的問題模型，提取同名特征點(diǎn)并將兩點(diǎn)集進(jìn)行粗配準(zhǔn)。為得到更精確的配準(zhǔn)結(jié)果，將誤差矩陣方程線性化并對(duì)其中的旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行全局優(yōu)化，使用MATLAB的Sedemi工具進(jìn)行凸松弛優(yōu)化得到全局最優(yōu)解。根據(jù)平均誤差、最大誤差、誤差補(bǔ)償率和方差驗(yàn)證算法補(bǔ)償結(jié)果的準(zhǔn)確性。

      旋轉(zhuǎn)參數(shù)與平移參數(shù)的對(duì)偶四元數(shù)表示：對(duì)偶四元數(shù)的幾何意義可以表示為2個(gè)三維集圍繞著一個(gè)軸做剛體運(yùn)動(dòng)，先沿著向量n做平移運(yùn)動(dòng)至p'點(diǎn)，平移距離為d，然后在p'點(diǎn)繞向量n旋轉(zhuǎn)θ角度到pS點(diǎn)，如圖4所示。

      式(4)可以由圖4的幾何關(guān)系重寫，如式(9)所示：
      其中式(4)中的實(shí)部r和對(duì)偶部s與式(9)中n和θ的關(guān)系如式(10)所示：
      因四元數(shù)法能保持方程是線性的且不產(chǎn)生奇異，任何三維空間的向量都可以用實(shí)部為0的四元數(shù)表示，所以引入2個(gè)以坐標(biāo)向量為正值的純虛四元數(shù)，如式(11)所示：       將純四元數(shù)p經(jīng)過四元數(shù)r旋轉(zhuǎn)變換到p'，如式(12)所示：
      其中，W(r)TU(r)可拓展為矩陣平移四元數(shù)t'的表示如式(13)所示：
      而式(8)可以用對(duì)偶四元數(shù)重新表示，如式(14)所示：
      其中：p_^Oi =(x^O_i , y^O_i , z^O_i)T與p^S_i=(x^S_i ,y^S_i ,z^S_i)T 表示理論測(cè)量點(diǎn)與該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)際測(cè)量點(diǎn)的控制向量;W(r)^TU(r)為旋轉(zhuǎn)矩陣;2W(r)^Ts為平移矩陣;λ為比例因子。在螺旋錐齒輪齒面誤差補(bǔ)償算法中，理論齒面和實(shí)測(cè)齒面的整體大小的差別很小，因此本文中涉及的比例因子λ近似為1。

      將式(14)進(jìn)行線性化，從實(shí)測(cè)齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)與理論齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)中提取同名特征點(diǎn)，可以得到誤差方程， 如式(15)所示：
      其中：E=(ex, ey, ez)T ，V=(vx, vy, vz)T ，X=(dr1, dr2, dr3, dr4, ds1, ds2, ds3, ds4);A是根據(jù)KD-tree搜索出的點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成的矩陣;L是與A同名特征點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矩陣。

      旋轉(zhuǎn)矩陣的全局優(yōu)化：在實(shí)際測(cè)量中，汽車驅(qū)動(dòng)橋螺旋錐齒輪測(cè)量齒面與理論齒面的質(zhì)心相差不大，優(yōu)化兩齒面間的平移向量對(duì)最終誤差補(bǔ)償效果的影響甚微，所以本文僅針對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行全局優(yōu)化。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模擬退火、禁忌搜索等啟發(fā)式全局優(yōu)化算法具有廣泛的適用性，但通常需要調(diào)節(jié)多個(gè)參數(shù)以實(shí)現(xiàn)最佳性能，分支限界法的技巧性更強(qiáng)，由于具體問題的差異，分支限界法的具體實(shí)現(xiàn)方法并不具有普適性。凸優(yōu)化方法是通過將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為階數(shù)更低的凸函數(shù) ，將可行區(qū)域轉(zhuǎn)化為凸包絡(luò)，使多極值非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題求解。針對(duì)低階(二次)的非凸函數(shù)優(yōu)化問題，既能保證執(zhí)行效率，又能保證求解的最優(yōu)性。凸松弛優(yōu)化方法最初由D. Hendon等將其應(yīng)用于測(cè)算機(jī)器視覺中的三維重建問題，常用于機(jī)器學(xué)習(xí)、 電力系統(tǒng)等領(lǐng)域，該算法的優(yōu)點(diǎn)是初值不需預(yù)估便獲得最優(yōu)解。為了最大限度確保每次求解的優(yōu)化結(jié)果都能收斂到全局最優(yōu)解，本文提出將對(duì)偶四元數(shù)與凸松弛優(yōu)化算法結(jié)合進(jìn)行求解。為了避免求解過程中出現(xiàn)2個(gè)最優(yōu)解的情況，同時(shí)確保特征點(diǎn)求解的數(shù)值穩(wěn)定性，增加約束條件 r·sT=0和rT·r=1，并在確定松弛系數(shù)后，利用線性矩陣建立凸優(yōu)化模型。以最小化方程式(8)為幾何誤差目標(biāo)函數(shù)，以對(duì)偶四元數(shù)的性質(zhì)為約束條件，建立二階多項(xiàng)式優(yōu)化問題并進(jìn)行優(yōu)化，具體步驟如下。

      步驟1：確定最大迭代次數(shù)，定義對(duì)偶四元數(shù)變量：r=(r₁, r₂, r₃, r₄)^T ，s=(s₁, s₂, s₃, s₄)^T，初始值 r=(1, 0, 0, 0)^T，s=(0, 0, 0, 0)^T，建立目標(biāo)函數(shù)minf(r)，如式 (16) 所示：
      步驟2：確定松弛系數(shù)，將線性化后的式(15)引入，確定凸優(yōu)化模型，如式(17)所示：
      其中，當(dāng)M_t(E)與M_t-1(E)滿秩時(shí)，才能得到全局優(yōu)化解，進(jìn)行下一步。

      步驟3：通過調(diào)用線性優(yōu)化求解器Sedumi工具箱得到最優(yōu)解，進(jìn)而得到對(duì)偶數(shù)實(shí)部r。

      步驟4：將得到的r代入式(17)中得到對(duì)偶部s。

      步驟5：輸出對(duì)偶四元數(shù)q。

      旋轉(zhuǎn)矩陣的凸松弛優(yōu)化流程如圖5所示。
      對(duì)偶四元數(shù)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)的精度計(jì)算：

      確定參數(shù)精度的必要性在于確保對(duì)偶四元數(shù)模型的可靠性和準(zhǔn)確性，便于有效地描述和預(yù)測(cè)復(fù)雜算法的行為?；趯?duì)偶四元數(shù)優(yōu)化的ICP迭代算法獲得的最終結(jié)果，需要通過計(jì)算精確度來驗(yàn)證算法的有效性。設(shè)理論點(diǎn)集P和測(cè)量點(diǎn)集Q對(duì)應(yīng)各點(diǎn)的歐式距離為f_i'，由此得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的歐式距離和F₀=Σ_fi'，將基于對(duì)偶四元數(shù)優(yōu)化的配準(zhǔn)算法與現(xiàn)有文獻(xiàn)提出的其他配準(zhǔn)算法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。本文將算法配準(zhǔn)后最小歐氏距離和F_min設(shè)定為最終誤差。在此基礎(chǔ)上定義B為整體誤差補(bǔ)償率來驗(yàn)證算法的精確度，如式(18)所示：
      進(jìn)一步定量分析配準(zhǔn)的精度，引入平均誤差和方差s2E，是指補(bǔ)償后齒面對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間距離的均值，可以評(píng)判補(bǔ)償算法的優(yōu)劣性，s2E 是對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間距離與均值之差的平方和的平均值，可以反映各點(diǎn)補(bǔ)償結(jié)果的離散程度。